Um corpo negro a 7.500 K consiste em uma abertura de 0,0500 mm de diâmetro, voltada para um forno. Determine o número de fótons que escapam por segundo através da abertura com comprimentos de onda entre 500 nm e 501 nm .

Passo 1

O enunciado pede o número de fótons por segundo que escapam por uma abertura circular de diâmetro ,0,0500 mm de um corpo negro a T=7500 K, no intervalo de comprimentos de onda de lambda=500 nm a lambda=501 nm. O conteúdo envolvido é a Lei de Planck para radiação de corpo negro e a relação entre fluxo de energia e fluxo de fótons.

Passo 2

Calculamos a área da abertura. Sendo o diâmetro d=0,0500 mm=5,00times10^-5,m,
A = pi d^24 = pi (5,00times10^-5)^24 = 1,9635times10^-9,m^2

Passo 3

A densidade espectral de radiância (energia por unidade de área, tempo, comprimento de onda e ângulo sólido) é dada pela Lei de Planck:
Blambda(T) = 2hc^2lambda^5,1e^hclambda kT - 1
Para lambda=500times10^-9,m e T=7500, K, definimos
x = hclambda kT = (6,626times10^-34)(3,00times10^8)(500times10^-9)(1,381times10^-23)(7500) approx 3,84,
Blambda approx 1,1927times10^-16(5,00times10^-7)^5,1e^3,84-1 approx 8,40times10^13,W,m^-2,sr^-1,m^-1

Passo 4

O fluxo de energia por comprimento de onda que sai pela abertura (integrando sobre o hemisfério de saída) é
PhiE(lambda)=pi,A,Blambda(T)l[W,m^-1r]
Para converter em número de fótons por segundo por metro de comprimento de onda, dividimos por hc/lambda:
phiN(lambda) =PhiE(lambda),lambdahc =pi A,Blambda(T),lambdahc
Substituindo A=1,9635times10^-9, m^2, Blambda=8,40times10^13 e lambda=5,00times10^-7, m, obtemos
phiN(lambda)approx 1,30times10^24,s^-1,m^-1

Passo 5

Como o intervalo de comprimento de onda é De<alambda=1,nm=1,00times10^-9, m, o número total de fótons por segundo é
N = phiN(lambda),De<alambda approx l(1,30times10^24r),(1,00times10^-9) =1,30times10^15,s^-1

Resposta

1,30times10^15 fótons por segundo.

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