Qual é a diferença entre a densidade de probabilidade e a densidade de probabilidade radial?

Passo 1

Estamos comparando duas maneiras de descrever a mesma distribuição de probabilidade em R^3 (por exemplo):
– A densidade de probabilidade f(x) dá a “massa” de probabilidade por unidade de volume em cada ponto x.
– A densidade de probabilidade radial g(r) dá a probabilidade por unidade de distância radial r=|x| em torno da origem, assumindo que a distribuição seja esfericamente simétrica.

Passo 2

Definição da densidade de probabilidade em volume:
P(a<= X<= b) ;=; integralV(a,b) f(x),d^3x,
onde V(a,b) é um subconjunto do espaço. Aqui f(x)>=0 e
integralR^3 f(x),d^3x = 1

Passo 3

Se a distribuição for esfericamente simétrica, isto é, f(x) depende só de r=|x|, escrevemos
f(x) = fr^(vol)(r)
Então a probabilidade de X estar entre raios r e r+dr é
P(r <= |X|<= r+dr) = integralS(r) fr^(vol)(r),dS = 4pi r^2,fr^(vol)(r),dr

Passo 4

Definição da densidade radial propriamente dita:
g(r) = 4pi r^2,fr^(vol)(r)
Note que
integral0^infty g(r),dr = 1,
pois integra-se sobre toda a faixa de r.

Resposta

A densidade de probabilidade f(x) (ou fr^(vol)(r) para o caso simétrico) mede probabilidade por unidade de volume em cada ponto x. A densidade de probabilidade radial g(r) mede probabilidade por unidade de distância radial r; ela já inclui o fator geométrico 4pi r^2 que conta quantos pontos há numa casca esférica de raio r.

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