Dois fios, um de aço e outro de cobre, cada um com diâmetro de , são ligados ponta a ponta. A , cada um tem comprimento não alongado de . Os fios são conectados entre dois suportes fixos a um do outro em um tampo de mesa. O de aço se estende de para ; o de cobre, de para ; a tensão é desprezível. A temperatura é baixada para . Suponha que o coeficiente de expansão média linear do aço seja do cobre seja . Considere o módulo de Young para aço como , e para cobre como . Nessa temperatura mais baixa, encontre a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. A gente tem dois fios, um de aço e outro de cobre, cada um com diâmetro de 2,000 mm e 2,000 m de comprimento inicialmente a 40°C. Eles estão conectados entre si e presos entre dois suportes que estão 4,000 m de distância. Quando a temperatura diminui para 20°C, os fios querem encolher, mas como estão conectados, isso cria uma tensão. A gente vai usar conceitos de expansão térmica e módulo de Young para calcular essa tensão. Vamos precisar das fórmulas de dilatação térmica e de tensão em materiais elásticos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura, que é a diferença entre a temperatura final e a inicial:
Isso significa que a temperatura diminuiu em 20°C.

Passo 3

A seguir, lembramos que a variação de comprimento devido à temperatura é dada pela fórmula:
Onde:
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de expansão linear,
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

Vamos calcular a contração que cada fio teria se fossem livres para se expandir ou contrair sem estar conectado:
Para o aço:
ç
Para o cobre:
Ambos os fios querem encolher, mas estão conectados, então eles vão se estender ou contrair até equilibrar as forças.

Passo 5

Vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, ou seja, a tensão que o aço exerce no cobre é igual e oposta à tensão que o cobre exerce no aço. A tensão ( ) em cada fio é dada por:
Onde:
  • é o módulo de Young,
  • é a deformação (strain), que é .

Passo 6

Como os dois fios estão em equilíbrio, podemos igualar as tensões:
çç
Substituindo os valores conhecidos:
ç

Passo 7

Resolvendo para ç e , mas lembrando que as variações são proporcionais às expansões térmicas e às tensões. No equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:
çç
Onde é a área da seção transversal, que pode ser calculada a partir do diâmetro.

Passo 8

Calculamos a área da seção transversal de cada fio:
Para :
Essa área é a mesma para ambos os fios.

Passo 9

Agora, expressamos as tensões em termos das deformações:
ççç
Sabendo que as deformações são causadas pela variação de temperatura:

Passo 10

Substituímos as deformações nas equações de tensão e igualamos as forças:
ççç
Simplificando:
çç
çç

Passo 11

Calculando os termos:
Somando:
Então:

Passo 12

Finalmente, isolamos :

Resposta

A tensão nos fios quando a temperatura é reduzida para 20,0°C é de aproximadamente .

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