Dois fios, um de aço e outro de cobre, cada um com diâmetro de
, são ligados ponta a ponta. A
, cada um tem comprimento não alongado de
. Os fios são conectados entre dois suportes fixos a
um do outro em um tampo de mesa. O de aço se estende de
para
; o de cobre, de
para
; a tensão é desprezível. A temperatura é baixada para
. Suponha que o coeficiente de expansão média linear do aço seja
do cobre seja
. Considere o módulo de Young para aço como
, e para cobre como
. Nessa temperatura mais baixa, encontre a tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui. A gente tem dois fios, um de aço e outro de cobre, cada um com diâmetro de 2,000 mm e 2,000 m de comprimento inicialmente a 40°C. Eles estão conectados entre si e presos entre dois suportes que estão 4,000 m de distância. Quando a temperatura diminui para 20°C, os fios querem encolher, mas como estão conectados, isso cria uma tensão. A gente vai usar conceitos de expansão térmica e módulo de Young para calcular essa tensão. Vamos precisar das fórmulas de dilatação térmica e de tensão em materiais elásticos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura, que é a diferença entre a temperatura final e a inicial:
Isso significa que a temperatura diminuiu em 20°C.
Passo 3
A seguir, lembramos que a variação de comprimento devido à temperatura é dada pela fórmula:
Onde:
-
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de expansão linear, -
é a variação de temperatura.
Passo 4
Vamos calcular a contração que cada fio teria se fossem livres para se expandir ou contrair sem estar conectado:
Para o aço:
Para o aço:
Para o cobre:
Ambos os fios querem encolher, mas estão conectados, então eles vão se estender ou contrair até equilibrar as forças.
Passo 5
Vamos considerar que o sistema está em equilíbrio, ou seja, a tensão que o aço exerce no cobre é igual e oposta à tensão que o cobre exerce no aço. A tensão (
) em cada fio é dada por:
Onde:
-
é o módulo de Young, -
é a deformação (strain), que é .
Passo 6
Como os dois fios estão em equilíbrio, podemos igualar as tensões:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Resolvendo para
e
, mas lembrando que as variações são proporcionais às expansões térmicas e às tensões. No equilíbrio, a soma das forças deve ser zero:
Onde
é a área da seção transversal, que pode ser calculada a partir do diâmetro.
Passo 8
Calculamos a área da seção transversal de cada fio:
Para
:
Essa área é a mesma para ambos os fios.
Passo 9
Agora, expressamos as tensões em termos das deformações:
Sabendo que as deformações são causadas pela variação de temperatura:
Passo 10
Substituímos as deformações nas equações de tensão e igualamos as forças:
Simplificando:
Passo 11
Calculando os termos:
Somando:
Então:
Passo 12
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A tensão nos fios quando a temperatura é reduzida para 20,0°C é de aproximadamente
.