Dois pontos em um plano têm coordenadas polares ( ; ) e ( ). Determine (b) a distância entre eles.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos dá as coordenadas polares de dois pontos no plano: (2,50 m; 30,0°) e (3,80 m; 120,0°). Nosso objetivo é descobrir a distância entre esses dois pontos. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas polares e a fórmula de distância entre dois pontos nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos quando eles estão em coordenadas polares. A fórmula que utilizaremos é baseada na Lei dos Cossenos e é a seguinte:
Onde:
  • é a distância entre os dois pontos.
  • e são as magnitudes dos vetores (as distâncias dos pontos à origem).
  • e são os ângulos dos vetores em graus.

Passo 3

Vamos identificar os valores dados na questão:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 5

Calculando o ângulo:
Então, a fórmula fica:

Passo 6

Sabemos que . Substituindo isso na fórmula:

Passo 7

Calculando a raiz quadrada:

Resposta

A distância entre os dois pontos é de aproximadamente 4,55 metros.

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