S Para dois vetores quaisquer
e
, mostre que
. Sugestão: escreva
e
na forma de vetor unitário e use as Equações 7.4 e 7.5 .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, e queremos mostrar que o produto escalar deles é igual à soma dos produtos das suas componentes nas direções
,
e
. Isso está dentro do estudo de vetores e, mais especificamente, do produto escalar. Para resolver, vamos escrever cada vetor usando os vetores unitários nas direções
,
e
, e depois aplicar a definição do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representamos um vetor usando os vetores unitários. Um vetor
pode ser escrito como:
E de igual forma, o vetor
é:
Aqui,
,
e
são os vetores unitários nas direções
,
e
, respectivamente. Eles são chamados de vetores unitários porque têm módulo 1 e indicam apenas a direção.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar
. A definição do produto escalar entre dois vetores é:
Para simplificar, distribuímos o produto:
Passo 4
Sabemos que o produto escalar entre vetores unitários diferentes é zero, ou seja,
. Além disso, o produto escalar de um vetor unitário consigo mesmo é 1, então
.
Aplicando isso na expressão:
Isso simplifica para:
Resposta
Portanto, mostramos que
.