S Para dois vetores quaisquer e , mostre que . Sugestão: escreva e na forma de vetor unitário e use as Equações 7.4 e 7.5 .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem dois vetores, e , e queremos mostrar que o produto escalar deles é igual à soma dos produtos das suas componentes nas direções , e . Isso está dentro do estudo de vetores e, mais especificamente, do produto escalar. Para resolver, vamos escrever cada vetor usando os vetores unitários nas direções , e , e depois aplicar a definição do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representamos um vetor usando os vetores unitários. Um vetor pode ser escrito como:
E de igual forma, o vetor é:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções , e , respectivamente. Eles são chamados de vetores unitários porque têm módulo 1 e indicam apenas a direção.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar . A definição do produto escalar entre dois vetores é:
Para simplificar, distribuímos o produto:

Passo 4

Sabemos que o produto escalar entre vetores unitários diferentes é zero, ou seja, . Além disso, o produto escalar de um vetor unitário consigo mesmo é 1, então .
Aplicando isso na expressão:
Isso simplifica para:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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