Duas lâmpadas têm filamentos cilíndricos muito maiores em comprimento que em diâmetro. As lâmpadas evacuadas são idênticas, exceto que uma opera com temperatura de filamento de e a outra a . (b) Com as lâmpadas operando com as mesmas respectivas temperaturas, a mais fria será alterada tornando seu filamento mais grosso, de modo que ela emite a mesma potência que a mais quente. Por que fator o raio desse filamento deve ser aumentado?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. Temos duas lâmpadas com filamentos que são bem mais longos que finos. Ambas são idênticas, mas uma tem o filamento aquecido a e a outra a . A gente quer descobrir por quanto o raio do filamento mais frio precisa aumentar para que ela emita a mesma potência que a mais quente.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a potência emitida por um filamento depende da sua temperatura e do seu raio. Vamos usar a Lei de Stefan-Boltzmann, que relaciona a potência emitida por um corpo negro com sua temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei de Stefan-Boltzmann:
Onde:
  • é a potência emitida,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • é a área superficial do filamento,
  • é a temperatura absoluta do filamento em Kelvin.
Como os filamentos são cilíndricos e muito mais longos que largos, a área superficial de um filamento é:
Onde:
  • é o raio do filamento,
  • é o comprimento do filamento.

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas para as duas lâmpadas.
Para a lâmpada mais quente ( ):
Para a lâmpada mais fria ( ):
Queremos que , ou seja:

Passo 4

Podemos simplificar a equação acima cancelando os termos que se repetem:
Isolando :

Passo 5

Agora, vamos calcular o fator pelo qual o raio precisa aumentar. Primeiro, convertendo as temperaturas para Kelvin:
Substituindo na fórmula:
Calculando isso:

Resposta

O raio do filamento mais frio precisa ser aumentado por um fator de aproximadamente 1,18 para emitir a mesma potência que o filamento mais quente.

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