Q|C Uma concha esférica tem raio interno de e raio externo de . Ela é feita de material com condutividade térmica . O interior é mantido à temperatura de , e o exterior à temperatura de . Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (f) Encontre a temperatura em , na metade da concha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma concha esférica com raio interno de 3 cm e externo de 7 cm. O interior está a 5°C e o exterior a 40°C. O material tem uma condutividade térmica de . Precisamos descobrir qual é a temperatura na metade da concha, ou seja, a 5 cm do centro. Para isso, vamos usar a teoria da condução de calor em regime estacionário para objetos esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em regime estacionário, a temperatura não muda com o tempo. A equação que descreve a condução de calor em coordenadas esféricas para radiação somente (sem geração de calor interna) é dada por:
Isso simplifica para resolver a distribuição de temperatura dentro da concha.

Passo 3

Vamos integrar essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Integrando uma vez em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos :
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, usamos as condições de contorno para encontrar as constantes e . Sabemos que:
  • Em ,
  • Em ,
Vamos substituir esses valores na equação de :
Para :
Para :

Passo 6

Temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a equação da temperatura:

Passo 8

Finalmente, queremos encontrar a temperatura em :

Resposta

A temperatura na metade da concha, em , é de .

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