Q|C Uma concha esférica tem raio interno de
e raio externo de
. Ela é feita de material com condutividade térmica
. O interior é mantido à temperatura de
, e o exterior à temperatura de
. Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (f) Encontre a temperatura em
, na metade da concha.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma concha esférica com raio interno de 3 cm e externo de 7 cm. O interior está a 5°C e o exterior a 40°C. O material tem uma condutividade térmica de
. Precisamos descobrir qual é a temperatura na metade da concha, ou seja, a 5 cm do centro. Para isso, vamos usar a teoria da condução de calor em regime estacionário para objetos esféricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em regime estacionário, a temperatura não muda com o tempo. A equação que descreve a condução de calor em coordenadas esféricas para radiação somente (sem geração de calor interna) é dada por:
Isso simplifica para resolver a distribuição de temperatura
dentro da concha.
Passo 3
Vamos integrar essa equação passo a passo. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Integrando uma vez em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, isolamos
:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, usamos as condições de contorno para encontrar as constantes
e
. Sabemos que:
- Em
, - Em
,
Vamos substituir esses valores na equação de
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Temos um sistema de duas equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação da temperatura:
Passo 8
Finalmente, queremos encontrar a temperatura em
:
Resposta
A temperatura na metade da concha, em
, é de
.