E10.2. A propulsão de foguetes é baseada na conservação de momento linear. Do motor do foguete sai um feixe de gás e o foguete, em compensação, ganha momento linear. Considerou-se a possibilidade de construir foguetes que ao invés de expelir gás expelem fótons, ou seja, luz. Mesmo que os fótons não tenham massa, a massa do foguete vai mudar no processo. Calcule a massa final Mf de um foguete movido à luz que partiu com velocidade inicial zero e com massa inicial Mi, se a velocidade final for v (supondo uma trajetória reta).

Passo 1

O enunciado trata de um foguete que parte do repouso com massa inicial Mi e, acionando um motor de fótons (luz), atinge velocidade final v. Como fótons não têm massa de repouso, precisamos usar a conservação relativística de energia e de momento linear para relacionar a massa final Mf ao aumento de velocidade.

Passo 2

A energia total inicial do sistema (foguete mais combustível) é
Ei = Mi c^2,
pois o foguete parte do repouso. Após a queima do combustível em forma de fótons, restam no foguete massa Mf e velocidade v, de modo que sua energia total é
Er = gamma,Mf,c^2,
onde
gamma = 1raiz1-(v/c)^2

Passo 3

A energia carregada pelos fótons emitidos é a diferença entre energia inicial e energia final do foguete, isto é
Eph = Ei - Er = Mic^2 - gamma,Mfc^2

Passo 4

O momento linear total dos fótons emitidos, indo na direção oposta ao movimento do foguete, tem magnitude
pph = Ephc

Passo 5

Como o sistema parte com momento linear zero, a pós-emissão temos conservação do momento na direção do movimento:
gamma,Mf,v ;=; pph

Passo 6

Substituindo pph = (Mic^2 - gamma,Mfc^2)/c em gamma,Mf,v = pph
gamma,Mf,v = Mic^2 - gamma,Mfc^2c Longrightarrow gamma,Mf,v = (Mi - gamma,Mf),c
Isolando Mf:
Mi = gamma,Mfl(1 + vcr) Longrightarrow Mf = Migamma,(1 + v/c)

Passo 7

Como gamma = 1/raiz1-(v/c)^2, temos
Mf = Mi,raiz1-(v/c)^21 + v/c = Mi,raiz1 - v/c1 + v/c

Resposta

Mf ;=; Mi,raiz1 - tfracvc1 + tfracvc

Exercícios de Livros Relacionados