E10.2. A propulsão de foguetes é baseada na conservação de momento linear. Do motor do foguete sai um feixe de gás e o foguete, em compensação, ganha momento linear. Considerou-se a possibilidade de construir foguetes que ao invés de expelir gás expelem fótons, ou seja, luz. Mesmo que os fótons não tenham massa, a massa do foguete vai mudar no processo. Calcule a massa final
de um foguete movido à luz que partiu com velocidade inicial zero e com massa inicial
, se a velocidade final for
(supondo uma trajetória reta).
Passo 1
O enunciado trata de um foguete que parte do repouso com massa inicial
e, acionando um motor de fótons (luz), atinge velocidade final
. Como fótons não têm massa de repouso, precisamos usar a conservação relativística de energia e de momento linear para relacionar a massa final
ao aumento de velocidade.
Passo 2
A energia total inicial do sistema (foguete mais combustível) é
pois o foguete parte do repouso. Após a queima do combustível em forma de fótons, restam no foguete massa
e velocidade
, de modo que sua energia total é
onde
Passo 3
A energia carregada pelos fótons emitidos é a diferença entre energia inicial e energia final do foguete, isto é
Passo 4
O momento linear total dos fótons emitidos, indo na direção oposta ao movimento do foguete, tem magnitude
Passo 5
Como o sistema parte com momento linear zero, a pós-emissão temos conservação do momento na direção do movimento:
Passo 6
Substituindo
em
dá
Isolando
:
Passo 7
Como
, temos