E 10.1. Uma partícula de massa m está em repouso num referencial I. Uma segunda partícula, igual à primeira, move-se no sentido positivo do eixo x com velocidade v. Após uma interação, as duas partículas formam uma só. Calcule: a) a massa de repouso M da nova partícula e b) a velocidade V da nova partícula.

Passo 1

O problema trata de uma colisão totalmente inelástica entre duas partículas idênticas de massa m em relatividade especial: uma está em repouso e a outra se move com velocidade v ao longo do eixo x. Após a colisão, elas se fundem numa partícula única de massa de repouso M e velocidade V. Vamos usar conservação do quadrimomento, ou seja, conservação de energia total e de momento linear total em I.

Passo 2

Denotemos
gamma = 1raiz1 - v^2/c^2.
Para a partícula 1 (em repouso):
E1 = m c^2, p1 = 0
Para a partícula 2 (velocidade v):
E2 = gamma,m c^2, p2 = gamma,m,v
Logo, energia total e momento total antes da colisão são
Erm tot = E1 + E2 = m c^2,(1 + gamma),
prm tot = p1 + p2 = gamma,m,v

Passo 3

A massa de repouso M da partícula resultante é dada pelo invariante
M,c^2 ;=;raizErm tot^2 - (prm tot,c)^2,
Substituindo,
M = 1c^2raizl(m c^2(1+gamma)r)^2 - l(gamma m v,cr)^2 = m,raiz2,(1+gamma)

Passo 4

A velocidade V da nova partícula vem de
V = prm tot,c^2Erm tot = gamma,m,v,c^2m,c^2,(1+gamma) = gamma,v1+gamma
Podemos também escrever
V = v1 + 1/gamma = v1 + raiz1 - v^2/c^2

Resposta

M = m,raiz2l(1 + tfrac1raiz1 - v^2/c^2r)
V = v1 + raiz1 - v^2/c^2

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