S Um elétron confinado em uma caixa absorve um fóton com comprimento de onda lambda. Como resultado, o elétron faz uma transição do estado n=1 para n=3. (a) Determine o comprimento da caixa. (b) Qual é o comprimento de onda lambda^prime do fóton emitido quando o elétron faz uma transição do estado n=3 para n=2 ?

Passo 1

O enunciado descreve um elétron preso numa “caixa” unidimensional de comprimento L. Ele absorve um fóton de comprimento de onda lambda e faz a transição do estado n=1 para n=3. Em seguida, queremos o comprimento de onda lambda' do fóton emitido quando ele cai de n=3 para n=2. Para isso, vamos usar as fórmulas dos níveis de energia de um poço infinito e a relação energia-fóton E = hc/lambda.

Passo 2

Os níveis de energia de um elétron no poço infinito são
En = n^2 h^28,m,L^2,
onde h é a constante de Planck e m a massa do elétron.

Passo 3

Ao absorver um fóton de comprimento de onda lambda, a energia absorvida é
E3 - E1 = 9h^28mL^2 - h^28mL^2 = 8h^28mL^2 = h^2mL^2,
e isso deve valer
h^2mL^2 = h,clambda
Despejando L, obtém-se
L^2 = h,lambdam,c Longrightarrow L = raizh,lambdam,c

Passo 4

Na transição de n=3 para n=2, o fóton emitido tem energia
E3 - E2 = 9h^28mL^2 - 4h^28mL^2 = 5h^28mL^2
Substituindo L^2 = hlambda/(m c) nessa expressão,
Eemit = 5h^28m,m,ch,lambda = 5,h,c8,lambda
Assim, o comprimento de onda emitido satisfaz
lambda' = h,cEemit = h,ctfrac5,h,c8,lambda = 85,lambda

Resposta

(a) L = raizh,lambdam,c.
(b) lambda' = 85,lambda.

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