Uma estação de radar localiza um navio afundando a uma distância de e com no sentido horário a partir do norte. Da mesma estação, um aviāo de resgate está a uma distância horizontal de no sentido horário a partir do norte, com elevação 2,20 km. (a) Escreva o vetor posição para o navio em relação ao plano, deixando í representar o leste, o norte e para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de vetores posição no espaço, que fazem parte da matéria de álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar transformar as informações dadas em coordenadas cartesianas e depois calcular o vetor posição do navio em relação ao avião de resgate. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as posições do navio e do avião em relação à estação de radar. O navio está a 17,3 km de distância e a 136° no sentido horário a partir do norte. O avião está a 19,6 km de distância horizontalmente e a 153° no sentido horário a partir do norte, com uma elevação de 2,20 km.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos converter essas posições de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Usaremos os ângulos em relação ao norte, onde representa o leste, o norte e para cima.
A fórmula para converter de coordenadas polares para cartesianas é:

Passo 4

Vamos calcular as coordenadas do navio:
Como o navio está no plano horizontal, .
Convertendo para cartesianas:

Passo 5

Agora, vamos calcular as coordenadas do avião de resgate:
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ã
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Convertendo para cartesianas:
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Passo 6

Agora, vamos calcular os valores numéricos usando uma calculadora científica para as funções seno e cosseno:
Para o navio:
Para o avião:
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Passo 7

Agora que temos as coordenadas cartesianas do navio e do avião, vamos calcular o vetor posição do navio em relação ao avião. Para isso, subtraímos as coordenadas do avião das coordenadas do navio:
ãããã
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora, vamos calcular cada componente:

Resposta

O vetor posição do navio em relação ao avião de resgate é:

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