Uma estação de radar localiza um navio afundando a uma distância de
e com
no sentido horário a partir do norte. Da mesma estação, um aviāo de resgate está a uma distância horizontal de
no sentido horário a partir do norte, com elevação 2,20 km. (a) Escreva o vetor posição para o navio em relação ao plano, deixando í representar o leste,
o norte e
para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de vetores posição no espaço, que fazem parte da matéria de álgebra vetorial. Para resolver, vamos precisar transformar as informações dadas em coordenadas cartesianas e depois calcular o vetor posição do navio em relação ao avião de resgate. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as posições do navio e do avião em relação à estação de radar. O navio está a 17,3 km de distância e a 136° no sentido horário a partir do norte. O avião está a 19,6 km de distância horizontalmente e a 153° no sentido horário a partir do norte, com uma elevação de 2,20 km.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos converter essas posições de coordenadas polares para coordenadas cartesianas. Usaremos os ângulos em relação ao norte, onde
representa o leste,
o norte e
para cima.
A fórmula para converter de coordenadas polares
para cartesianas é:
Passo 4
Vamos calcular as coordenadas do navio:
Como o navio está no plano horizontal,
.
Convertendo para cartesianas:
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do avião de resgate:
Convertendo para cartesianas:
Passo 6
Agora, vamos calcular os valores numéricos usando uma calculadora científica para as funções seno e cosseno:
Para o navio:
Para o avião:
Passo 7
Agora que temos as coordenadas cartesianas do navio e do avião, vamos calcular o vetor posição do navio em relação ao avião. Para isso, subtraímos as coordenadas do avião das coordenadas do navio:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada componente:
Resposta
O vetor posição do navio em relação ao avião de resgate é: