4.9 Exercícios
4.3 Obtenha a lei de Gauss na forma diferencial para o campo gravitacional.

Passo 1

O enunciado pede para obter a lei de Gauss na forma diferencial para o campo gravitacional. Vamos usar como ponto de partida a forma integral dessa lei e aplicar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência). Precisaremos também relacionar a massa interior de um volume com a densidade de massa.

Passo 2

A forma integral da lei de Gauss para o campo gravitacional \mathbf{g} é
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} \;=\;-4\pi G\,M_{\mathrm{int}},
onde \mathcal{S} é uma superfície fechada que envolve o volume V, G é a constante gravitacional e
M_{\mathrm{int}} \;=\;\int_{V}\rho\,dV
é a massa total contida em V, expressa em termos da densidade de massa \rho.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, substituímos o fluxo de \mathbf{g} pela integral do divergente sobre o volume interno:
\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{g}\cdot d\mathbf{A} \;=\; \int_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{g}\;dV.

Passo 4

Substituindo as expressões no mesmo volume V, temos
\int_{V}\nabla\!\cdot\mathbf{g}\;dV \;=\; -4\pi G\int_{V}\rho\;dV.

Passo 5

Como a igualdade vale para qualquer volume V, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Logo, chegamos à forma diferencial da lei de Gauss para gravitação:
\nabla\!\cdot\mathbf{g} \;=\;-4\pi G\,\rho.

Resposta

\nabla\!\cdot\mathbf{g} = -4\pi G\,\rho.

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