4.9 Exercícios
4.3 Obtenha a lei de Gauss na forma diferencial para o campo gravitacional.
4.3 Obtenha a lei de Gauss na forma diferencial para o campo gravitacional.
Passo 1
O enunciado pede para obter a lei de Gauss na forma diferencial para o campo gravitacional. Vamos usar como ponto de partida a forma integral dessa lei e aplicar o Teorema de Gauss (ou Teorema da Divergência). Precisaremos também relacionar a massa interior de um volume com a densidade de massa.
Passo 2
A forma integral da lei de Gauss para o campo gravitacional
é
onde
é uma superfície fechada que envolve o volume
,
é a constante gravitacional e
é a massa total contida em
, expressa em termos da densidade de massa
.
Passo 3
Pelo Teorema da Divergência, substituímos o fluxo de
pela integral do divergente sobre o volume interno:
Passo 4
Substituindo as expressões no mesmo volume
, temos
Passo 5
Como a igualdade vale para qualquer volume
, os integrandos devem ser iguais ponto a ponto. Logo, chegamos à forma diferencial da lei de Gauss para gravitação: