No instante um cometa é observado a um raio e viajando com velocidade , formando um ângulo agudo com a reta entre o cometa e Sol. Considere o Sol na origem , com o cometa sobre o eixo ) e sua órbita sobre o plano . Mostre como você pode calcular os parâmetros da equação orbital na forma . Faça isso para o caso em que e . [A massa do Sol é cerca de e

Passo 1

Então, a gente tem um cometa que está sendo observado no instante . Ele está a uma distância inicial de metros do Sol e se movendo com uma velocidade inicial de km/s, formando um ângulo de com a linha que liga o cometa ao Sol. O Sol está na origem do sistema de coordenadas , e o cometa está no eixo no tempo . A nossa missão é encontrar os parâmetros da equação orbital na forma . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica orbital, como a lei da conservação do momento angular e a energia específica, além de aplicar as leis de Kepler e equações de movimento de corpos celestes.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de km/s para m/s para manter as unidades consistentes. Sabemos que km/s, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento angular específico do cometa. O momento angular específico é dado por:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos :
Então,

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a energia específica do cometa. A energia específica é dada por:
Onde:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,

Passo 5

Agora, vamos determinar a excentricidade da órbita. A excentricidade pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Então,

Passo 6

Com a excentricidade conhecida, podemos determinar o parâmetro da equação orbital. Sabemos que para uma órbita elíptica:
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, para encontrar o ângulo de fase , consideramos que no instante , o cometa está no eixo , então .

Resposta

Os parâmetros da equação orbital são:
Logo, a equação orbital fica:

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