No instante
um cometa é observado a um raio
e viajando com velocidade
, formando um ângulo agudo
com a reta entre o cometa e Sol. Considere o Sol na origem
, com o cometa sobre o eixo
) e sua órbita sobre o plano
. Mostre como você pode calcular os parâmetros da equação orbital na forma
. Faça isso para o caso em que
e
. [A massa do Sol é cerca de
e
Passo 1
Então, a gente tem um cometa que está sendo observado no instante
. Ele está a uma distância inicial de
metros do Sol e se movendo com uma velocidade inicial de
km/s, formando um ângulo de
com a linha que liga o cometa ao Sol. O Sol está na origem do sistema de coordenadas
, e o cometa está no eixo
no tempo
. A nossa missão é encontrar os parâmetros da equação orbital na forma
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica orbital, como a lei da conservação do momento angular e a energia específica, além de aplicar as leis de Kepler e equações de movimento de corpos celestes.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de km/s para m/s para manter as unidades consistentes. Sabemos que
km/s, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento angular específico
do cometa. O momento angular específico é dado por:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Então,
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a energia específica
do cometa. A energia específica é dada por:
Onde:
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Então,
Passo 5
Agora, vamos determinar a excentricidade
da órbita. A excentricidade pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador e o denominador separadamente:
Então,
Passo 6
Com a excentricidade
conhecida, podemos determinar o parâmetro
da equação orbital. Sabemos que para uma órbita elíptica:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o ângulo de fase
, consideramos que no instante
, o cometa está no eixo
, então
.
Resposta
Os parâmetros da equação orbital são:
Logo, a equação orbital fica: