O núcleo de um átomo de hidrogênio é um único próton, que tem um raio de cerca de 1,0 \times 10^{-15} \mathrm{~m}. O único elétron em um átomo de hidrogênio normalmente orbita o núcleo a uma distância de 5,3 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Qual o quociente entre a massa específica do núcleo do hidrogênio e a massa específica do átomo de hidrogênio completo?

Passo 1

No enunciado temos o raio do núcleo \,r_{\text{núcleo}}=1{,}0\times10^{-15}ú m e o raio da órbita do elétron \,r_{\text{átomo}}=5{,}3\times10^{-11}á m. Queremos o quociente das massas específicas (densidades médias) do núcleo e do átomo inteiro. Para isso, vamos modelar ambos como esferas e usar a definição de densidade média \rho=m/V.

Passo 2

A densidade média de um corpo é dada por
\rho = \frac{m}{V}\,.
Como estamos tratando núcleo e átomo como esferas, seus volumes são
V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Passo 3

A massa do núcleo é a massa de um próton
m_{\text{núcleo}}\approx1{,}6726\times10^{-27}\text{ kg}.ú
A massa do átomo é a soma da massa do próton e do elétron, mas como a massa do elétron \,m_e\approx9{,}11\times10^{-31} kg é desprezível frente ao próton, podemos aproximar
m_{\text{átomo}}\approx m_{\text{núcleo}}.áú

Passo 4

Os volumes do núcleo e do átomo são
V_{\text{núcleo}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(r_{\text{núcleo}}\bigr)^3 \quad\text{e}\quad V_{\text{átomo}}=\frac{4}{3}\pi\bigl(r_{\text{átomo}}\bigr)^3.úúáá

Passo 5

O quociente das densidades fica
\frac{\rho_{\text{núcleo}}}{\rho_{\text{átomo}}} =\frac{m_{\text{núcleo}}/V_{\text{núcleo}}}{m_{\text{átomo}}/V_{\text{átomo}}} \approx\frac{V_{\text{átomo}}}{V_{\text{núcleo}}} =\biggl(\frac{r_{\text{átomo}}}{r_{\text{núcleo}}}\biggr)^3.úáúúáááúáú
Substituindo
\frac{\rho_{\text{núcleo}}}{\rho_{\text{átomo}}} =\biggl(\frac{5{,}3\times10^{-11}}{1{,}0\times10^{-15}}\biggr)^3 =(5{,}3\times10^4)^3\approx1{,}49\times10^{14}.úá

Resposta

\frac{\rho_{\text{núcleo}}}{\rho_{\text{átomo}}}\approx1{,}5\times10^{14}.úá

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