Uma partícula de
parte da origem no tempo zero. Sua velocidade em função do tempo é dada por
onde
está dado em metros por segundo e
em segundos. (a) Encontre sua posição em função do tempo.
Passo 1
Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de 5 kg que começa na origem (ponto zero) no tempo zero. A velocidade dela em função do tempo é dada por:
O que precisamos encontrar é a posição dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos usar o conceito de que a posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se quisermos encontrar a posição, precisamos integrar a velocidade.
Matematicamente, temos:
Passo 3
Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente. A velocidade está em duas direções:
(horizontal) e
(vertical).
Para a componente
:
E para a componente
:
Passo 4
Vamos calcular cada integral:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, juntamos as duas componentes e adicionamos a condição inicial. Como a partícula parte da origem, quando
, a posição
. Então, as constantes de integração são zero.
Portanto, a posição em função do tempo é:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: