Uma partícula de parte da origem no tempo zero. Sua velocidade em função do tempo é dada por
onde está dado em metros por segundo e em segundos. (a) Encontre sua posição em função do tempo.

Passo 1

Então, vamos ver o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de 5 kg que começa na origem (ponto zero) no tempo zero. A velocidade dela em função do tempo é dada por:
O que precisamos encontrar é a posição dessa partícula em função do tempo. Para isso, vamos usar o conceito de que a posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, se quisermos encontrar a posição, precisamos integrar a velocidade.
Matematicamente, temos:

Passo 3

Vamos integrar cada componente da velocidade separadamente. A velocidade está em duas direções: (horizontal) e (vertical).
Para a componente :
E para a componente :

Passo 4

Vamos calcular cada integral:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, juntamos as duas componentes e adicionamos a condição inicial. Como a partícula parte da origem, quando , a posição . Então, as constantes de integração são zero.
Portanto, a posição em função do tempo é:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

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