Uma partícula de parte da origem no tempo zero. Sua velocidade em função do tempo é dada por
onde está dado em metros por segundo e em segundos. (h) a potência injetada no sistema da partícula em funçāo do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de 5 kg que parte da origem no tempo zero. A velocidade dela está dada por , onde é o tempo em segundos. A gente precisa calcular a potência injetada no sistema dessa partícula em função do tempo. Para resolver isso, vamos lembrar que potência é a taxa com que o trabalho é feito, ou seja, . Vamos precisar calcular a força exercida na partícula e depois usar isso para achar a potência.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a aceleração da partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da velocidade:
Derivando em relação ao :

Passo 3

Agora que temos a aceleração, podemos encontrar a força usando a segunda lei de Newton, que diz que , onde é a massa da partícula.
Então:

Passo 4

Com a força e a velocidade conhecidas, podemos calcular a potência usando a fórmula:
Isso significa que multiplicamos as componentes correspondentes das duas vetores e somamos:

Resposta

A potência injetada no sistema da partícula em função do tempo é:

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