Uma pista de corrida tem raio e o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro e o asfalto é . © Calcule o limite de velocidade para uma pista que tem um ângulo de inclinação e mostre que o resultado pode ser colocado na forma , em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um carro correndo numa pista curva com raio e uma inclinação de . A gente tem que calcular a velocidade máxima que o carro pode ter sem derrapar, considerando o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o asfalto. Para isso, vamos usar conceitos de Dinâmica Circular e Forças em um plano inclinado.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama das forças atuando no carro. Temos:
  • O peso do carro ( ) puxando para baixo.
  • A força normal ( ) perpendicular à pista.
  • A força de atrito estático ( ) que impede o carro de deslizar para fora da curva.
  • A força centrípeta necessária para manter o carro na curva ( ) direcionada para o centro da curva.

Passo 3

Como a pista está inclinada, precisamos decompor as forças nas direções perpendicular e paralela à pista. Na direção perpendicular:
Na direção paralela:
A força de atrito estático máxima é .

Passo 4

Para que o carro não derrape, a força de atrito precisa ser igual ou maior que a força necessária para manter o carro na curva:
Substituímos da equação anterior:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade para . Primeiro, simplificamos cancelando e reagrupando os termos com :
Move tudo para um lado:
Fatorando :
Isolando :
Agora, usando a identidade trigonométrica , onde , podemos reescrever como:

Resposta

O limite de velocidade é dado por , onde .

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