A potência de um alto-falante é . Suponha que ele transmita igualmente em todas as direções. (a) A que distância do alto-falante uma pessoa deve estar para que o som seja doloroso para o ouvido?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um alto-falante com potência de que transmite o som igualmente em todas as direções. Queremos descobrir a que distância uma pessoa deve estar desse alto-falante para que o som seja doloroso para o ouvido. Para resolver isso, vamos usar o conceito de intensidade sonora e a relação entre potência, intensidade e distância.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é intensidade sonora. A intensidade sonora ( ) é a quantidade de energia do som que passa por uma área em um certo tempo. Ela é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a intensidade sonora,
  • é a potência do som,
  • é a área pela qual o som está se espalhando.

Passo 3

Como o som está sendo transmitido igualmente em todas as direções, a área é a superfície de uma esfera com raio (a distância do alto-falante). A área de uma esfera é calculada por:
Então, substituindo na fórmula da intensidade sonora:

Passo 4

Queremos que o som seja doloroso para o ouvido. Geralmente, considera-se que uma intensidade sonora de é dolorosa. Então, vamos igualar a intensidade à intensidade dolorosa:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A pessoa deve estar a aproximadamente do alto-falante para que o som seja doloroso para o ouvido.

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