Em um processo de manufatura, um compressor cilíndrico grande é usado para achatar o material que passa por baixo dele. O diâmetro do compressor é
e, enquanto está em rotação ao redor de um eixo fixo, sua posição angular é expressa como
onde
é dado em radianos e
em segundos. (b) Qual é a velocidade tangencial máxima de um ponto na sua borda?
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um compressor cilíndrico com diâmetro de 1,00 m que está girando. A posição angular dele em função do tempo é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade tangencial máxima de um ponto na borda desse compressor. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como derivadas para encontrar a velocidade e identificar o ponto máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a posição angular
e a velocidade tangencial
. A velocidade tangencial é a rapidez com que um ponto na borda do compressor está se movendo ao redor do círculo. Para encontrá-la, precisamos primeiro achar a velocidade angular
.
Passo 3
A velocidade angular
é a derivada da posição angular
em relação ao tempo
:
Dada a função
, vamos derivar em relação ao tempo:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar a velocidade tangencial
usando a relação:
Onde
é o raio do compressor. Como o diâmetro é 1,00 m, o raio é:
Então, substituindo:
Passo 5
Para encontrar a velocidade tangencial máxima, precisamos determinar o valor de
que maximiza
. Isso significa encontrar quando a derivada de
em relação ao tempo é zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, substituímos o valor de
na equação de
para encontrar a velocidade máxima:
Calculando:
Resposta
A velocidade tangencial máxima na borda do compressor é aproximadamente
.