Em um processo de manufatura, um compressor cilíndrico grande é usado para achatar o material que passa por baixo dele. O diâmetro do compressor é e, enquanto está em rotação ao redor de um eixo fixo, sua posição angular é expressa como
onde é dado em radianos e em segundos. (b) Qual é a velocidade tangencial máxima de um ponto na sua borda?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um compressor cilíndrico com diâmetro de 1,00 m que está girando. A posição angular dele em função do tempo é dada por , onde está em radianos e em segundos. O que precisamos descobrir é qual é a velocidade tangencial máxima de um ponto na borda desse compressor. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional, como derivadas para encontrar a velocidade e identificar o ponto máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a posição angular e a velocidade tangencial . A velocidade tangencial é a rapidez com que um ponto na borda do compressor está se movendo ao redor do círculo. Para encontrá-la, precisamos primeiro achar a velocidade angular .

Passo 3

A velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo :
Dada a função , vamos derivar em relação ao tempo:

Passo 4

Agora que temos , podemos encontrar a velocidade tangencial usando a relação:
Onde é o raio do compressor. Como o diâmetro é 1,00 m, o raio é:
Então, substituindo:

Passo 5

Para encontrar a velocidade tangencial máxima, precisamos determinar o valor de que maximiza . Isso significa encontrar quando a derivada de em relação ao tempo é zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, substituímos o valor de na equação de para encontrar a velocidade máxima:
Calculando:

Resposta

A velocidade tangencial máxima na borda do compressor é aproximadamente .

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