15.3 Um próton não-relativístico de velocidade \vec{v}=v_{0} \hat{\mathbf{i}} penetra numa região em que há um campo magnético \overrightarrow{\mathcal{B}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathcal{B}_{0}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) e um campo elétrico \overrightarrow{\mathcal{E}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathcal{E}_{0}(\hat{\mathbf{k}}-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}). Calcule a força de Lorentz que age sobre o próton e obtenha as suas equações de movimento. Considere como origem o ponto em que o próton entra na região em que existem os campos.

Passo 1

O enunciado pede a força de Lorentz num próton de carga q=+e e velocidade inicial \vec v=v_{0}\,\hat\imath ao entrar na região onde
\overrightarrow{\mathcal B}=\frac{\sqrt2}{2}\,\mathcal B_{0}\,(\hat\imath+\hat\jmath), \quad \overrightarrow{\mathcal E}=\frac{\sqrt3}{3}\,\mathcal E_{0}\,(\hat k-\hat\imath+2\hat\jmath).
Usaremos
\vec F = q\bigl(\overrightarrow{\mathcal E} + \vec v\times\overrightarrow{\mathcal B}\bigr), \qquad \vec F = m\,\vec a,
e integraremos \vec a para obter \vec v(t) e \vec r(t).

Passo 2

Calculemos \vec v\times\overrightarrow{\mathcal B}. Como \vec v=v_{0}\,\hat\imath,
\vec v\times\overrightarrow{\mathcal B} = v_{0}\,\hat\imath \times \Bigl[\tfrac{\sqrt2}{2}\,\mathcal B_{0}(\hat\imath+\hat\jmath)\Bigr] = v_{0}\,\frac{\sqrt2}{2}\,\mathcal B_{0}\bigl(\hat\imath\times\hat\imath + \hat\imath\times\hat\jmath\bigr) = v_{0}\,\frac{\sqrt2}{2}\,\mathcal B_{0}\,\hat k.

Passo 3

A força elétrica é
\vec F_{E} = q\,\overrightarrow{\mathcal E} = e\,\frac{\sqrt3}{3}\,\mathcal E_{0}\,(\hat k - \hat\imath + 2\hat\jmath) = \frac{\sqrt3}{3}\,e\,\mathcal E_{0}\,(-\hat\imath + 2\hat\jmath + \hat k).

Passo 4

A força magnética é
\vec F_{B} = q\,(\vec v\times\overrightarrow{\mathcal B}) = e\,\bigl[v_{0}\,\tfrac{\sqrt2}{2}\,\mathcal B_{0}\,\hat k\bigr] = \frac{\sqrt2}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal B_{0}\,\hat k.

Passo 5

Somando \vec F=\vec F_{E}+\vec F_{B}:
\vec F = -\frac{\sqrt3}{3}\,e\,\mathcal E_{0}\,\hat\imath + \frac{2\sqrt3}{3}\,e\,\mathcal E_{0}\,\hat\jmath + \Bigl(\frac{\sqrt3}{3}\,e\,\mathcal E_{0} + \frac{\sqrt2}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal B_{0}\Bigr)\hat k.

Passo 6

Pela segunda lei de Newton, \vec a=\vec F/m é constante, com componentes
a_{x} = -\frac{\sqrt3}{3}\,\frac{e\,\mathcal E_{0}}{m}, \quad a_{y} = \frac{2\sqrt3}{3}\,\frac{e\,\mathcal E_{0}}{m}, \quad a_{z} = \frac{1}{m}\Bigl(\frac{\sqrt3}{3}\,e\,\mathcal E_{0}+\frac{\sqrt2}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal B_{0}\Bigr).
Integrando com as condições iniciais \vec v(0)=v_{0}\,\hat\imath e \vec r(0)=\vec0, obtemos
\vec v(t) = v_{0}\,\hat\imath + \vec a\,t, \qquad \vec r(t) = v_{0}\,t\,\hat\imath + \tfrac12\,\vec a\,t^{2}.

Resposta

Força de Lorentz:
\vec{F} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\,e\,\mathcal{E}_{0}\,\hat{\imath} + \frac{2\sqrt{3}}{3}\,e\,\mathcal{E}_{0}\,\hat{\jmath} + \Bigl(\frac{\sqrt{3}}{3}\,e\,\mathcal{E}_{0} + \frac{\sqrt{2}}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal{B}_{0}\Bigr)\hat{k}.
Equações de movimento:
\vec{v}(t) = v_{0}\,\hat{\imath} + \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,\frac{e\,\mathcal{E}_{0}}{m}\\[6pt] \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\,\frac{e\,\mathcal{E}_{0}}{m}\\[3pt] \tfrac{1}{m}\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,e\,\mathcal{E}_{0}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal{B}_{0}\bigr) \end{pmatrix}t, \quad \vec{r}(t) = v_{0}\,t\,\hat{\imath} + \tfrac{1}{2} \begin{pmatrix} -\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,\frac{e\,\mathcal{E}_{0}}{m}\\[6pt] \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\,\frac{e\,\mathcal{E}_{0}}{m}\\[3pt] \tfrac{1}{m}\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{3}\,e\,\mathcal{E}_{0}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\,e\,v_{0}\,\mathcal{B}_{0}\bigr) \end{pmatrix}t^{2}.]

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