Q|C Uma concha esférica tem raio interno de
e raio externo de
. Ela é feita de material com condutividade térmica
. O interior é mantido à temperatura de
, e o exterior à temperatura de
. Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (a) Explique por que a taxa de transferência de energia
deve ser a mesma por cada superfície esférica, de raio
, dentro da concha, e deve satisfazer:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma concha esférica com raio interno de 3 cm e raio externo de 7 cm, feita de um material que conduz calor com condutividade . O interior da concha tá a 5°C e o exterior a 40°C. Depois de um tempo, a temperatura dentro da concha para de mudar. A pergunta (a) quer que a gente explique por que a taxa de transferência de energia
é a mesma em todas as superfícies esféricas de raio
dentro da concha e que satisfaz a equação:
Vamos precisar entender de condução de calor e como ela se comporta em sistemas esféricos.
Passo 2
Primeiro, como estamos lidando com uma situação de estado estacionário, isso significa que as temperaturas não mudam com o tempo. Então, o fluxo de calor que entra no sistema é igual ao que sai, mantendo tudo em equilíbrio.
Passo 3
Agora, considere uma superfície esférica imaginária de raio
dentro da concha. Como a concha é esférica e estamos em estado estacionário, o fluxo de calor
que passa por essa superfície deve ser o mesmo em qualquer raio
que a gente escolher. Isso acontece porque, se o fluxo mudasse com
, estaria havendo acúmulo ou decréscimo de calor, o que não ocorre no estado estacionário.
Passo 4
Vamos lembrar da Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo de calor
é proporcional ao gradiente de temperatura:
No nosso caso, o fluxo de calor através de uma superfície esférica de raio
é igual à taxa de transferência de energia
. A área de uma superfície esférica é
, então o fluxo de calor por unidade de área é:
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Como estamos interessados na magnitude da taxa de transferência de energia, podemos ignorar o sinal negativo (que indica a direção do fluxo de calor). Assim, temos:
Isso mostra que a derivada da temperatura em relação a
é igual a
dividido por
, conforme solicitado.
Resposta
A taxa de transferência de energia
é constante em todas as superfícies esféricas de raio
dentro da concha porque, no estado estacionário, o fluxo de calor não muda com
. Além disso, a derivada da temperatura em relação a
satisfaz a equação: