Q|C Uma concha esférica tem raio interno de e raio externo de . Ela é feita de material com condutividade térmica . O interior é mantido à temperatura de , e o exterior à temperatura de . Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (a) Explique por que a taxa de transferência de energia deve ser a mesma por cada superfície esférica, de raio , dentro da concha, e deve satisfazer:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma concha esférica com raio interno de 3 cm e raio externo de 7 cm, feita de um material que conduz calor com condutividade . O interior da concha tá a 5°C e o exterior a 40°C. Depois de um tempo, a temperatura dentro da concha para de mudar. A pergunta (a) quer que a gente explique por que a taxa de transferência de energia é a mesma em todas as superfícies esféricas de raio dentro da concha e que satisfaz a equação:
Vamos precisar entender de condução de calor e como ela se comporta em sistemas esféricos.

Passo 2

Primeiro, como estamos lidando com uma situação de estado estacionário, isso significa que as temperaturas não mudam com o tempo. Então, o fluxo de calor que entra no sistema é igual ao que sai, mantendo tudo em equilíbrio.

Passo 3

Agora, considere uma superfície esférica imaginária de raio dentro da concha. Como a concha é esférica e estamos em estado estacionário, o fluxo de calor que passa por essa superfície deve ser o mesmo em qualquer raio que a gente escolher. Isso acontece porque, se o fluxo mudasse com , estaria havendo acúmulo ou decréscimo de calor, o que não ocorre no estado estacionário.

Passo 4

Vamos lembrar da Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura:
No nosso caso, o fluxo de calor através de uma superfície esférica de raio é igual à taxa de transferência de energia . A área de uma superfície esférica é , então o fluxo de calor por unidade de área é:

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
Como estamos interessados na magnitude da taxa de transferência de energia, podemos ignorar o sinal negativo (que indica a direção do fluxo de calor). Assim, temos:
Isso mostra que a derivada da temperatura em relação a é igual a dividido por , conforme solicitado.

Resposta

A taxa de transferência de energia é constante em todas as superfícies esféricas de raio dentro da concha porque, no estado estacionário, o fluxo de calor não muda com . Além disso, a derivada da temperatura em relação a satisfaz a equação:

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