Q|C Uma partícula de 4,00 g confinada em uma caixa de comprimento L tem velocidade escalar de 1,00 mm / s. (a) Qual é a energia cinética clássica da partícula? (b) Se a energia do primeiro estado excitado ( n=2 ) for igual à energia cinética encontrada na parte (a), qual será o valor de L ? (c) O resultado encontrado na parte (b) é realista? Explique.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa 4,00,g confinada num poço unidimensional de comprimento L e velocidade escalar 1,00,mm/s.
Conteúdo: (a) cálculo de energia cinética clássica tfrac12mv^2; (b) energia do segundo nível quântico num poço infinito En = n^2h^28mL^2; (c) discussão da ordem de grandeza de L.

Passo 2

Converter para unidades SI e calcular
m = 4,00,g = 0,004,kg, v = 1,00,mm/s = 1,00times10^-3,m/s
A energia cinética clássica é
K = 12 m v^2 = 12 times 0,004 times (1,00times10^-3)^2 = 2,00times10^-9,J

Passo 3

Para um poço infinito de comprimento L, os níveis de energia são
En = n^2 h^28,m,L^2
Queremos E2 = K, isto é,
4,h^28,m,L^2 = K Longrightarrow L = raiz4,h^28,m,K = raizh^22,m,K
Substituindo h=6,626times10^-34,Jcdot s, m=0,004,kg e K=2,00times10^-9,J,
L = raiz(6,626times10^-34)^22times0,004times2,00times10^-9 approx 1,7times10^-28,m

Passo 4

O valor Lsim10^-28,m é absurdamente pequeno (muito abaixo do tamanho nuclear sim10^-15,m). Logo, não é realista tratar uma partícula de 4 g num poço quântico tão diminuto; os níveis quânticos ficariam quase contínuos para sistemas macroscópicos.

Resposta

(a) K = 2,00times10^-9,J
(b) L approx 1,7times10^-28,m
(c) Não é realista, pois o comprimento exigido é muito menor que escalas atômicas e nucleares.

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