Q|C (a) Prove que a troca de uma partícula de massa m pode estar associada à força com uma faixa dada por
d approx 1.2404 pi m c^2=98,7m c^2
onde d está em nanômetros e m c^2 em elétrons-volt. (b) Formule o padrão de dependência da faixa na massa. (c) Qual é a faixa da força que pode ser produzida pela troca virtual de um próton?

Passo 1

O enunciado pede que a gente use o princípio da incerteza tempo-energia para mostrar que a troca de uma partícula de massa m dá uma faixa
dapprox 1,2404pi,m c^2 = 98,7m c^2
com d em nm e m c^2 em eV; em seguida, quer o padrão de dependência de d em m e, por fim, o valor numérico de d para um próton.

Passo 2

Do princípio da incerteza tempo-energia temos
De<a E,De<a t >rsim h4pi
Para uma partícula virtual de massa m atribuímos De<a Eapprox m c^2 e a duração do processo De<a t. Como a faixa da força é dapprox c,De<a t, resulta
d approx c,h4pi,De<a E = h,c4pi,m c^2

Passo 3

Sabendo que
h,c = 1,240;eVcdotnm,
substituímos na fórmula acima e obtemos
d approx 1,2404pi,m c^2,nm approx 98,7m c^2,nm

Passo 4

Da expressão
d approx constantem c^2
vemos imediatamente que
dpropto 1m

Passo 5

Para o próton temos
mp c^2 approx 938;MeV = 9,38times10^8;eV
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dp approx 98,79,38times10^8,nm approx 1,05times10^-7,nm =1,05times10^-16,m

Resposta

(a) d approx h,c4pi,m c^2 = 1,2404pi,m c^2,nm = 98,7m c^2,nm
(b) dpropto 1/m
(c) Para o próton, dpapprox 1,05times10^-16,m

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