Q|C Suponha que a matéria escura exista no espaço com uma densidade uniforme de
. (a) Encontre a quantidade dessa matéria escura dentro de uma esfera centralizada no Sol, com a órbita terrestre como seu equador. (b) Explique se o campo gravitacional dessa matéria escura teria um efeito mensurável na revolução da Terra.
Passo 1
O enunciado dá densidade uniforme de matéria escura
e pede (a) a massa dentro de uma esfera de raio igual à órbita terrestre
e (b) se o campo gravitacional dessa massa afeta a revolução da Terra.
Vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e depois comparar a aceleração gravitacional extra com a aceleração centrípeta da Terra.
e pede (a) a massa dentro de uma esfera de raio igual à órbita terrestre
e (b) se o campo gravitacional dessa massa afeta a revolução da Terra.
Vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e depois comparar a aceleração gravitacional extra com a aceleração centrípeta da Terra.
Passo 2
O volume da esfera de raio
é
Passo 3
Substituindo
:
Passo 4
A massa de matéria escura é
Passo 5
Para ver se isso altera a órbita, calculamos a aceleração gravitacional extra no raio
:
Essa aceleração é ínfima se comparada à aceleração centrípeta da Terra
portanto o efeito é completamente desprezível.
Resposta
(a)
(b) Não há efeito gravitacional mensurável, pois a aceleração extra é da ordem de , muito inferior à aceleração centrípeta da Terra.
(b) Não há efeito gravitacional mensurável, pois a aceleração extra é da ordem de