Q|C Suponha que a matéria escura exista no espaço com uma densidade uniforme de 6,00 times 10^-28 kg / m^3. (a) Encontre a quantidade dessa matéria escura dentro de uma esfera centralizada no Sol, com a órbita terrestre como seu equador. (b) Explique se o campo gravitacional dessa matéria escura teria um efeito mensurável na revolução da Terra.

Passo 1

O enunciado dá densidade uniforme de matéria escura
rho = 6,00times10^-28,kg/m^3
e pede (a) a massa dentro de uma esfera de raio igual à órbita terrestre
r = 1,UA = 1,496times10^11,m
e (b) se o campo gravitacional dessa massa afeta a revolução da Terra.
Vamos usar a fórmula do volume de uma esfera e depois comparar a aceleração gravitacional extra com a aceleração centrípeta da Terra.

Passo 2

O volume da esfera de raio r é
V = 43,pi,r^3

Passo 3

Substituindo r=1,496times10^11,m:
V = 43,pi,(1,496times10^11,m)^3 approx 1,40times10^34,m^3

Passo 4

A massa de matéria escura é
m = rho,V = (6,00times10^-28,kg/m^3),(1,40times10^34,m^3) approx 8,4times10^6,kg

Passo 5

Para ver se isso altera a órbita, calculamos a aceleração gravitacional extra no raio r:
a = G,mr^2 approx 6,67times10^-11,m^3/(kg,s^2),times,8,4times10^6,kg (1,496times10^11,m)^2 approx 2,5times10^-26,m/s^2
Essa aceleração é ínfima se comparada à aceleração centrípeta da Terra
ac = 4pi^2rT^2approx0,006,m/s^2,
portanto o efeito é completamente desprezível.

Resposta

(a) 8,4times10^6,kg
(b) Não há efeito gravitacional mensurável, pois a aceleração extra é da ordem de 10^-26,m/s^2, muito inferior à aceleração centrípeta da Terra.

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