Qual das seguintes afirmações a respeito da quantidade de movimento linear é verdadeira ( p= módulo da quantidade de movimento, m= massa e v= velocidade escalar)? (a) Quando o módulo p da quantidade de movimento é definido como p=\frac{m v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, a quantidade de movimento linear de um sistema isolado se conserva somente se as velocidades escalares das várias partes do sistema forem muito altas. (b) Quando o módulo p da quantidade de movimento é definido como p=m v, a quantidade de movimento linear de um sistema isolado se conserva somente se as velocidades escalares das várias partes do sistema forem muito altas. (c) Quando o módulo p da quantidade de movimento linear é definido como p=\frac{m v}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}, a quantidade de movimento linear de um sistema isolado se conserva não importando quais sejam as velocidades escalares das várias partes do sistema. (d) Quando o módulo p da quantidade de movimento é definido como p=m v, a quantidade de movimento linear de um sistema isolado se conserva não importando quais sejam as velocidades escalares das várias partes do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro afirmações sobre a definição e a conservação da quantidade de movimento linear p, sendo
p = \begin{cases} \dfrac{m\,v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}\quad&\text{(relativística)},\\[1em] m\,v\quad&\text{(newtoniana)}. \end{cases}
O tema é conservação de momento em mecânica clássica versus relativística e precisamos verificar em quais casos cada fórmula leva à conservação correta em um sistema isolado.]
Passo 2
Na mecânica newtoniana usamos
p_{\text{new}} = m\,v.
Esse resultado é derivado de F = m\,a e vale rigorosamente quando v\ll c. Em regimes de velocidade baixa v/c\to0 a mecânica newtoniana descreve bem as interações e, portanto, a quantidade de movimento newtoniana se conserva.
Passo 3
Quando as velocidades se aproximam de c, a fórmula p_{\text{new}}=m\,v deixa de ser compatível com as transformações de Lorentz e não é mais exatamente conservada entre diferentes referenciais inerciais. Nesse regime precisamos da definição relativística
p_{\text{rel}} = \frac{m\,v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},
a qual garante a conservação do momento em qualquer velocidade, pois está de acordo com a invariança relativística do espaço-tempo.
Passo 4
Vamos verificar cada afirmação:
(a) Diz que p_{\text{rel}} só se conserva se v for muito alto. Isso é falso: a definição relativística conserva o momento para qualquer v.
(b) Diz que p_{\text{new}} só se conserva se as velocidades forem muito baixas. Isso é verdadeiro em termos de aplicabilidade da fórmula newtoniana, pois para v\sim c ela falha.
(c) Diz que p_{\text{rel}} se conserva não importando as velocidades. Isso é verdadeiro, pois a fórmula relativística é a correta expressão geral de p.
(d) Afirma que p_{\text{new}} se conserva para quaisquer velocidades. Isso é falso em altas velocidades.
Passo 5
As afirmações corretas são (b) e (c), mas como a questão pede uma única opção verdadeira no sentido geral da conservação de momento em todas as velocidades, a resposta óbvia é a relativística.
Resposta
(c) Quando o módulo p da quantidade de movimento linear é definido como
p = \frac{m\,v}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},
a quantidade de movimento linear de um sistema isolado se conserva não importando quais sejam as velocidades escalares das várias partes do sistema.
Física - Cutnell e Johnson - Física - Vol 3 - 9ª Edição - Capítulo 28.Problemas - Ex. 10