© Qual seria o período orbital se a Terra fosse substituída por uma estrela de massa igual à massa do Sol, em uma órbita circular, com a distância entre o Sol e a estrela igual à distância do Sol à Terra? (A massa do Sol é mais de 300.000 vezes a massa da Terra.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descobrir o período orbital de uma estrela que tem a mesma massa do Sol, orbitando de forma circular a uma distância igual à entre o Sol e a Terra. Para isso, vamos usar conceitos de leis de Kepler e lei da gravitação universal de Newton. Precisamos saber a massa do Sol, a distância entre o Sol e a Terra (1 Unidade Astronômica, ou AU) e a fórmula que relaciona essas grandezas para encontrar o período orbital.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que nos diz que a força gravitacional entre dois corpos é dada por:
Onde:
  • é a força gravitacional,
  • é a constante gravitacional ,
  • e são as massas dos dois corpos,
  • é a distância entre os centros dos dois corpos.
No nosso caso, ambos os corpos têm massa igual à do Sol ( ), e a distância é de 1 AU .

Passo 3

Agora, sabemos que para um corpo em órbita circular, a força centrípeta necessária para manter a órbita é fornecida pela força gravitacional. A força centrípeta é dada por:
í
Onde:
  • é a velocidade orbital.
Igualando as duas expressões para a força:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Para encontrar o período orbital , usamos a relação entre a velocidade orbital e o período:
Substituindo na equação anterior:
Essa é a famosa Terceira Lei de Kepler, que relaciona o período orbital com a distância e a massa dos corpos.

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Vamos substituir os valores conhecidos:
  • ,
  • (massa do Sol),
  • (1 AU).

Passo 6

Calculando dentro da raiz:
Primeiro, calculamos :
Depois, calculamos :
Dividindo os dois resultados:

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada e multiplicamos por :
Convertendo para anos:
Sabemos que 1 ano tem aproximadamente segundos, então:

Resposta

O período orbital seria aproximadamente 1 ano.

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