Um sistema elevador em um edificio alto consiste em uma cabine de 800 kg e um contrapeso de 950 kg unidos por um cabo leve com comprimento constante que passa sobre uma roldana com massa de 280 kg . A roldana é um cilindro sólido de raio
girando em um eixo horizontal. O cabo não escorrega na roldana. Um número
de pessoas, cada uma com massa
, está na cabine do elevador, movendo-se para cima a
e chegando ao piso onde a cabine deve parar. Como medida de conservação de energia, um computador desconecta o motor do elevador em um momento exato de modo que o sistema roldana-cabine-contrapeso fica em ponto morto sem atrito e chega ao repouso no piso desejado. Ali, o sistema é preso por uma tranca simples e não por um freio massivo. (a) Determine a distância
que a cabine sobe em ponto morto como uma função de
. Avalie a distância para (b)
, ©
e (d)
. (e) Para que valores inteiros de
a expressão na parte (a) se aplica? (f) Explique sua resposta para a parte (e). (g) Se um número infinito de pessoas coubesse no elevador, qual seria o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema de elevador com uma cabine, um contrapeso e uma roldana. A gente precisa descobrir a distância que a cabine sobe quando o motor é desligado, dependendo do número de pessoas dentro dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física como forças, equilíbrio e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando no sistema. Temos a massa da cabine (800 kg), o contrapeso (950 kg), a roldana com massa (280 kg) e um número n de pessoas, cada uma com 80 kg, dentro da cabine. A roldana é um cilindro sólido, então precisamos considerar seu momento de inércia.
Passo 3
O momento de inércia (I) de um cilindro sólido é dado por:
Onde M é a massa da roldana e R é o raio. Substituindo os valores:
Passo 4
Quando o elevador está em movimento para cima a uma velocidade constante antes de ser desligado, as forças estão equilibradas. A força resultante será zero. Mas ao desligar, queremos saber quanto a cabine vai subir até parar.
Passo 5
Vamos aplicar o princípio da conservação de energia. A energia cinética inicial da cabine e das pessoas será transformada em energia potencial gravitacional quando o sistema parar. A energia cinética (Eₖ) é:
Onde
kg e v = 3,00 m/s.
Passo 6
A energia potencial gravitacional (Eₚ) é:
Onde g = 9,81 m/s² e d é a distância que queremos encontrar.
Passo 7
Igualando as duas energias para conservar:
Passo 8
Simplificando a equação:
Passo 9
Podemos cancelar
dos dois lados:
Passo 10
Portanto, a distância que a cabine sobe em ponto morto não depende do número de pessoas n e é aproximadamente 0,459 metros.
Resposta
A distância
que a cabine sobe em ponto morto é aproximadamente
, independentemente do n��mero de pessoas
dentro dela.