É a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a
em uma superficie esférica? Sôbre uma superficie plana? Sob que circunstâncias a geometria esférica se reduz a geometria plana? Mostre a analogia entre a Mecânica Relativística e Mecânica Clássica.
Passo 1
O enunciado pede para compararmos a soma dos ângulos internos de um triângulo em duas geometrias (esférica e plana), identificar quando a geometria esférica se reduz à plana e, em seguida, mostrar como a mecânica relativística contém a mecânica clássica como caso limite.
Passo 2
Na geometria esférica, um “triângulo” é formado por arcos de círculos máximos de raio
. Sejam
seus ângulos internos e
a área do triângulo sobre a esfera. A soma dos ângulos satisfaz a relação do excesso esférico:
Como
, conclui-se que sobre uma superfície esférica a soma é sempre maior que
(isto é, maior que
).
Passo 3
Na geometria plana (curvatura zero) vale o teorema clássico:
A geometria esférica tende à plana quando a curvatura da esfera se torna desprezível em relação ao tamanho do triângulo. Em termos práticos, isso ocorre quando
pois então
e a soma
.
Passo 4
Em mecânica relativística definimos o fator de Lorentz
e escrevemos
Para velocidades muito menores que a da luz (
), expandimos em série:
Desprezando a energia de repouso
, recupera-se exatamente a energia cinética clássica
e o momento
. Assim, a mecânica clássica é o limite
(ou equivalentemente
) da relativística.
Resposta
- Sobre uma superfície esférica:
. - Sobre uma superfície plana:
. - A geometria esférica reduz-se à plana quando
ou (excesso esférico nulo). - Na mecânica relativística
e ; para isso dá e , recuperando-se a mecânica clássica.