É a soma dos ângulos internos de um triângulo igual a 180^{\circ} em uma superficie esférica? Sôbre uma superficie plana? Sob que circunstâncias a geometria esférica se reduz a geometria plana? Mostre a analogia entre a Mecânica Relativística e Mecânica Clássica.

Passo 1

O enunciado pede para compararmos a soma dos ângulos internos de um triângulo em duas geometrias (esférica e plana), identificar quando a geometria esférica se reduz à plana e, em seguida, mostrar como a mecânica relativística contém a mecânica clássica como caso limite.

Passo 2

Na geometria esférica, um “triângulo” é formado por arcos de círculos máximos de raio R. Sejam \alpha,\beta,\gamma seus ângulos internos e A a área do triângulo sobre a esfera. A soma dos ângulos satisfaz a relação do excesso esférico:
\alpha + \beta + \gamma \;=\;\pi + \frac{A}{R^2}.
Como \tfrac{A}{R^2}>0, conclui-se que sobre uma superfície esférica a soma é sempre maior que \pi (isto é, maior que 180^\circ).

Passo 3

Na geometria plana (curvatura zero) vale o teorema clássico:
\alpha + \beta + \gamma \;=\;\pi.
A geometria esférica tende à plana quando a curvatura da esfera se torna desprezível em relação ao tamanho do triângulo. Em termos práticos, isso ocorre quando
R\to\infty \quad\text{ou}\quad A\ll R^2,
pois então \tfrac{A}{R^2}\to0 e a soma \alpha+\beta+\gamma\to\pi.

Passo 4

Em mecânica relativística definimos o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}},
e escrevemos
\vec p_{\rm rel} = \gamma m\,\vec v, \qquad E_{\rm rel} = \gamma m\,c^2.
Para velocidades muito menores que a da luz ( v\ll c), expandimos em série:
\gamma \approx 1 + \tfrac12\frac{v^2}{c^2} + \cdots \quad\Longrightarrow\quad \vec p_{\rm rel}\approx m\,\vec v, \quad E_{\rm rel}\approx m c^2 + \tfrac12 m v^2.
Desprezando a energia de repouso m c^2, recupera-se exatamente a energia cinética clássica \tfrac12 m v^2 e o momento \vec p=m\vec v. Assim, a mecânica clássica é o limite v/c\to0 (ou equivalentemente c\to\infty) da relativística.

Resposta

  • Sobre uma superfície esférica: \alpha+\beta+\gamma=\pi+\tfrac{A}{R^2}> \pi.
  • Sobre uma superfície plana: \alpha+\beta+\gamma=\pi.
  • A geometria esférica reduz-se à plana quando R\to\infty ou A\ll R^2 (excesso esférico nulo).
  • Na mecânica relativística \vec p=\gamma m\vec v e E=\gamma m c^2; para v\ll c isso dá \vec p\simeq m\vec v e E\simeq m c^2 +\tfrac12 m v^2, recuperando-se a mecânica clássica.

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