O telhado de uma casa é um plano perfeitamente estável que forma um ângulo com a horizontal. Quando sua temperatura muda, entre antes do amanhecer todos os dias e no meio de cada tarde, o telhado se expande e se contrai uniformemente com um coeficiente de expansão térmica . Repousando no telhado está uma placa de metal plana e retangular com coeficiente de expansão , maior que . O comprimento da placa é , medido ao longo da inclinação do telhado. O componente do peso da placa perpendicular ao telhado é suportado por uma força normal uniformemente distribuída por sua área. O coeficiente de atrito cinético entre a placa e o telhado é . A placa sempre está à mesma temperatura que o telhado, então, supomos que sua temperatura mude continuamente. Devido à diferença nos coeficientes de expansão, cada parte da placa se move com relação ao telhado abaixo dela, exceto nos pontos ao longo de certa linha horizontal que passa pela placa, chamada linha estacionária. Se a temperatura sobe, partes da placa abaixo da linha estacionária se movem para baixo em relação ao telhado e sentem uma força de atrito cinética atuando no telhado. Elementos da área acima da linha estacionária deslizam para cima no telhado, e o atrito cinético atua sobre eles para baixo, paralelo ao telhado. A linha estacionária não ocupa nenhuma área, então supomos que nenhuma força de atrito estática atue sobre a placa enquanto a temperatura muda. A placa como um todo está muito próxima do equilíbrio, então a força de atrito resultante sobre ela deve ser igual ao componente de seu peso atuando para baixo na inclinação. Mostre que a placa vai para baixo no telhado como uma larva, movendo-se, todos os dias, a uma distância:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um telhado inclinado formando um ângulo com a horizontal. O telhado e uma placa de metal sobre ele se expandem e contraem quando a temperatura muda diariamente entre e . Como os coeficientes de expansão (do telhado) e (da placa) são diferentes, isso faz a placa se mover em relação ao telhado. Precisamos descobrir a distância que a placa se move para baixo no telhado todos os dias. Para isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e atrito cinético.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da expansão linear: , onde é a variação de comprimento, é o comprimento original, é o coeficiente de expansão e é a variação de temperatura.

Passo 3

Como o telhado se expande com coeficiente e a placa com , a diferença na expansão por direção faz a placa deslizar. A variação de comprimento da placa em relação ao telhado é:

Passo 4

A temperatura varia de a , então a diferença de temperatura diária é . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, considerando o ângulo do telhado, a distância efetiva que a placa se move para baixo na inclinação é a componente tangencial da variação de comprimento. Então, multiplicamos por :

Passo 6

Por fim, levando em conta o atrito cinético , a distância real que a placa se move para baixo é dividida pelo coeficiente de atrito:

Resposta

A placa se move para baixo no telhado diariamente uma distância de:

Exercícios de Livros Relacionados