QC Revisão. A ponte Golden Gate, em São Francisco, tem vão central de comprimento
, um dos mais longos do mundo. Imagine que um cabo de aço com esse comprimento e área transversal de
, é posto em linha reta na plataforma da ponte com suas pontas presas às torres da ponte. Em um dia de verão, a temperatura do fio é
. (a) Quando chega o inverno, as torres estão separadas pela mesma distância, e a plataforma da ponte tem o mesmo formato conforme suas junções de expansão se abrem. Quando a temperatura cai para
, qual é a tensão no cabo? Considere o módulo de Young para aço como
. (b) Deformação permanente ocorre se a tensão no aço excede seu limite elástico de
. A que temperatura o cabo atingiria seu limite elástico? © E se? Explique como suas respostas para as partes (a) e (b) mudariam se a ponte Golden Gate tivesse o dobro do comprimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a ponte Golden Gate e um cabo de aço que está sujeito a variações de temperatura. Nosso objetivo é calcular a tensão no cabo quando a temperatura muda e verificar se há deformação permanente. Vamos precisar de conceitos de dilatação térmica, módulo de Young e tensão em materiais. Vamos resolver passo a passo as partes (a), (b) e ©.
Passo 2
Parte (a): Calculando a tensão no cabo quando a temperatura cai de
para
.
Primeiro, precisamos entender que a variação de temperatura causa uma dilatação ou contração no cabo. A tensão no cabo é resultante dessa contração.
A fórmula para a tensão
em função da variação de temperatura é:
Onde:
-
é o módulo de Young, -
é o coeficiente de dilatação térmica do aço, -
é a variação de temperatura.
No entanto, o coeficiente de dilatação térmica
não foi fornecido. Vamos supor um valor típico para o aço, que é aproximadamente
.
Vamos aplicar os valores:
A tensão negativa indica compressão, mas como estamos interessados na magnitude da tensão, consideramos
.
Passo 3
Parte (b): Determinando a temperatura em que a tensão atinge o limite elástico de
.
Queremos achar a temperatura
que faz com que:
Resolvendo para
:
Como a temperatura inicial é
, a temperatura final será:
Passo 4
Parte ©: Analisando como as respostas seriam diferentes se o comprimento da ponte fosse o dobro.
Se o comprimento do cabo dobrasse, a variação de comprimento devido à temperatura também dobraria, já que
. Isso significa que a tensão no cabo, que depende da deformação (
), permaneceria a mesma, pois o aumento em
compensaria o aumento em
.
No entanto, na parte (b), para atingir o mesmo limite elástico, a variação de temperatura necessária também seria a metade, pois o comprimento maior permitiria maior deformação sem exceder a tensão máxima.
Resposta
(a) A tensão no cabo ao cair a temperatura para
é de aproximadamente
.
(b) A temperatura em que o cabo atinge o limite elástico é
.
© Se o comprimento da ponte fosse o dobro, a tensão no cabo nas mesmas variações de temperatura permaneceria a mesma, mas a temperatura necessária para atingir o limite elástico seria reduzida pela metade.