O telhado de uma casa é um plano perfeitamente estável que forma um ângulo
com a horizontal. Quando sua temperatura muda, entre
antes do amanhecer todos os dias e
no meio de cada tarde, o telhado se expande e se contrai uniformemente com um coeficiente de expansão térmica
. Repousando no telhado está uma placa de metal plana e retangular com coeficiente de expansão
, maior que
. O comprimento da placa é
, medido ao longo da inclinação do telhado. O componente do peso da placa perpendicular ao telhado é suportado por uma força normal uniformemente distribuída por sua área. O coeficiente de atrito cinético entre a placa e o telhado é
. A placa sempre está à mesma temperatura que o telhado, então, supomos que sua temperatura mude continuamente. Devido à diferença nos coeficientes de expansão, cada parte da placa se move com relação ao telhado abaixo dela, exceto nos pontos ao longo de certa linha horizontal que passa pela placa, chamada linha estacionária. Se a temperatura sobe, partes da placa abaixo da linha estacionária se movem para baixo em relação ao telhado e sentem uma força de atrito cinética atuando no telhado. Elementos da área acima da linha estacionária deslizam para cima no telhado, e o atrito cinético atua sobre eles para baixo, paralelo ao telhado. A linha estacionária não ocupa nenhuma área, então supomos que nenhuma força de atrito estática atue sobre a placa enquanto a temperatura muda. A placa como um todo está muito próxima do equilíbrio, então a força de atrito resultante sobre ela deve ser igual ao componente de seu peso atuando para baixo na inclinação. Avalie a distância que uma placa de alumínio se move cada dia se seu comprimento é
, se sua temperatura varia entre
e
, e se o telhado tem inclinação de
, coeficiente de expansão linear
coeficiente de atrito 0,420 com a placa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve expansão térmica, força de atrito e um pouco de trigonometria. A gente vai precisar entender como a temperatura afeta o tamanho da placa e do telhado, como a diferença nessa expansão causa movimento da placa, e como calcular a distância que a placa se move devido ao atrito. Vamos usar fórmulas de expansão térmica e de equilíbrio de forças com atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a variação da temperatura. A temperatura muda de
para
. A variação de temperatura (
) é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variação no comprimento da placa de alumínio devido à expansão térmica. A fórmula para expansão linear é:
Onde:
-
é o coeficiente de expansão térmica. -
é o comprimento original da placa. -
é a variação de temperatura.
Para a placa de metal (
):
Substituindo os valores:
Passo 4
O telhado também se expande, mas com um coeficiente menor (
). A variação no comprimento do telhado (
) é:
Substituindo os valores:
Passo 5
A diferença na expansão entre a placa e o telhado faz com que a placa deslize. Essa diferença (
) é:
Parece que há um erro aqui. Na verdade, os coeficientes de expansão são diferentes.
Correção:
A placa tem coeficiente
, e o telhado
, sendo
. Então:
Substituindo:
Mas o problema não forneceu
. Vamos supor que
para ambos, mas na verdade, parece que ambos os coeficientes foram dados como
. Revendo o enunciado:
O coeficiente de expansão térmica do telhado é
e o da placa
é maior que
. Mas no enunciado, apenas um coeficiente
foi mencionado. Parece que há uma confusão. Vamos considerar que o telhado tem
e a placa
é maior, que pode ser o coeficiente do alumínio, que geralmente é cerca de
.
Passo 6
Vamos usar o coeficiente de expansão do alumínio
. Agora, a diferença de expansão é:
Calculando:
Passo 7
Agora, precisamos relacionar essa diferença de expansão com o movimento causado pelo atrito. A força de atrito cinético (
) é dada por:
Onde
e
é a força normal, que é igual ao componente perpendicular do peso da placa.
Passo 8
Vamos calcular a força normal (
). O componente do peso perpendicular ao telhado é:
Mas o peso
da placa é:
No entanto, o problema não fornece a massa da placa. Talvez haja uma simplificação usando que a força de atrito resultante deve equilibrar o componente do peso. Como a placa está em equilíbrio, podemos relacionar diretamente a distância movida com o atrito.
Passo 9
Vamos considerar que a força de atrito necessária para equilibrar o peso é:
E:
Igualando as duas expressões:
Cancelando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Verificando com os valores dados:
Como
, a placa está em equilíbrio estático, mas como há expansão, a placa se move.
Passo 10
A distância que a placa se move diariamente é igual à diferença de expansão:
Convertendo para metros:
Resposta
A placa de alumínio se move aproximadamente
(ou 0,346 mm) a cada dia.