Todos nós reclamamos de que não há horas suficientes em um dia. Em uma tentativa de consertar isso, suponha que todas as pessoas do mundo se alinhem no Equador e comecem a correr para o leste a
em relação à superficie terrestre. De quanto é o aumento do comprimento do dia? Suponha que a população mundial seja
de pessoas com uma massa média de
cada, e que a Terra seja uma esfera homogênea sólida. Além disso, dependendo dos detalhes de sua solução, você pode ter que usar a aproximação
para pequeno valores de
.
Passo 1
Então, galera! A gente todo reclama que o dia não tem horas suficientes, né? O exercício propõe que, se toda a população mundial (7 bilhões de pessoas, cada uma com 55 kg) correr para o leste no Equador a 2,50 m/s, quanto isso vai aumentar o comprimento do dia. Vamos precisar usar conceitos de física sobre momento angular e rotação da Terra, além de algumas aproximações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento angular que as pessoas adicionariam ao se moverem para leste. O momento angular (
) é dado por
, onde
é a massa,
é a velocidade e
é o raio da Terra.
Passo 3
Sabemos que a massa total das pessoas é:
Passo 4
A velocidade é
.
O raio da Terra (
) é aproximadamente
.
Passo 5
Calculando o momento angular das pessoas:
Passo 6
Agora, vamos considerar o momento angular da Terra. Para uma esfera homogênea, o momento de inércia (
) é:
Onde
.
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
A Terra gira uma vez a cada 86400 segundos (24 horas), então sua velocidade angular (
) é:
Passo 9
O momento angular da Terra (
) é:
Passo 10
A mudança na velocidade angular (
) da Terra devido ao momento angular das pessoas é:
Passo 11
Usando a aproximação
para
pequeno, a nova velocidade angular será:
Passo 12
A variação no período (
) é relacionada a
por:
Passo 13
Calculando
:
Resposta
O aumento no comprimento do dia seria de aproximadamente
segundos.