Uma partícula está localizada na posição vetorial , e uma força exercida sobre ela é definida . (b) Pode haver outro ponto em torno do qual o torque causado por essa força sobre essa partícula seja na direção oposta e metade do módulo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula na posição vetorial e uma força aplicada sobre ela . A questão pede para descobrir se existe outro ponto em torno do qual o torque causado por essa força seja na direção oposta e com metade do módulo do torque original. Vamos precisar entender o que é torque, como calculá-lo e como alterar o ponto de aplicação para ajustar o torque conforme solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto. Matematicamente, é dado pelo produto vetorial entre a posição vetorial e a força :
Como estamos trabalhando em duas dimensões, o torque será perpendicular ao plano, e podemos considerar apenas a componente escalar.

Passo 3

Vamos calcular o torque original em relação ao ponto de origem (0,0). Usando a posição e a força , o torque é:
O sinal negativo indica a direção do torque.

Passo 4

Queremos encontrar outro ponto de aplicação onde o torque seja na direção oposta e com metade do módulo. Ou seja, queremos um novo torque tal que:
Substituindo o valor de :

Passo 5

Agora, vamos pensar em como alterar o ponto de aplicação para obter esse novo torque. Se deslocarmos o ponto de aplicação da força, a posição vetorial muda. Suponha que o novo ponto esteja a uma distância da origem. A nova posição vetorial será:
Calculando o novo torque:
Queremos que :

Passo 6

Essa é uma equação linear com duas variáveis, o que significa que existem infinitas soluções. Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, se escolhermos :
Então, uma das possíveis posições é .

Passo 7

Verificando, a nova posição vetorial seria:
Calculando o torque:
Está correto! O torque está na direção oposta e com metade do módulo do original.

Resposta

Sim, existe um ponto de aplicação localizado em a partir da origem, onde o torque causado pela força será na direção oposta e com metade do módulo do torque original.

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