Uma partícula está localizada na posição vetorial
, e uma força exercida sobre ela é definida
. (b) Pode haver outro ponto em torno do qual o torque causado por essa força sobre essa partícula seja na direção oposta e metade do módulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula na posição vetorial
e uma força aplicada sobre ela
. A questão pede para descobrir se existe outro ponto em torno do qual o torque causado por essa força seja na direção oposta e com metade do módulo do torque original. Vamos precisar entender o que é torque, como calculá-lo e como alterar o ponto de aplicação para ajustar o torque conforme solicitado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é torque. Torque é uma medida da tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto. Matematicamente, é dado pelo produto vetorial entre a posição vetorial
e a força
:
Como estamos trabalhando em duas dimensões, o torque será perpendicular ao plano, e podemos considerar apenas a componente escalar.
Passo 3
Vamos calcular o torque original em relação ao ponto de origem (0,0). Usando a posição
e a força
, o torque é:
O sinal negativo indica a direção do torque.
Passo 4
Queremos encontrar outro ponto de aplicação onde o torque seja na direção oposta e com metade do módulo. Ou seja, queremos um novo torque
tal que:
Substituindo o valor de
:
Passo 5
Agora, vamos pensar em como alterar o ponto de aplicação para obter esse novo torque. Se deslocarmos o ponto de aplicação da força, a posição vetorial muda. Suponha que o novo ponto esteja a uma distância
da origem. A nova posição vetorial será:
Calculando o novo torque:
Queremos que
:
Passo 6
Essa é uma equação linear com duas variáveis, o que significa que existem infinitas soluções. Podemos escolher um valor para uma das variáveis e resolver para a outra. Por exemplo, se escolhermos
:
Então, uma das possíveis posições é
.
Passo 7
Verificando, a nova posição vetorial seria:
Calculando o torque:
Está correto! O torque está na direção oposta e com metade do módulo do original.
Resposta
Sim, existe um ponto de aplicação localizado em
a partir da origem, onde o torque causado pela força
será na direção oposta e com metade do módulo do torque original.