Qual o trabalho que deve ser realizado sobre um elétron para ace-lerá-lo do repouso até uma velocidade de 0,990 c ?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para acelerar um elétron do repouso até uma velocidade de \,0,990\,c. Como a velocidade é próxima à da luz, precisamos usar a teoria da relatividade restrita e calcular a energia cinética relativística, que coincide com o trabalho realizado.

Passo 2

Em relatividade, a energia cinética de uma partícula de massa m acelerada até a velocidade v é
K = (\gamma - 1)\,m c^2
onde
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
No nosso caso \,v = 0,990\,c, logo
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,990)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0,9801}} = \frac{1}{\sqrt{0,0199}} \approx 7,089.

Passo 3

Substituindo em K=(\gamma-1)\,m c^2, com
m = 9{,}11\times10^{-31}\,\text{kg},\quad c = 3{,}00\times10^{8}\,\text{m/s},
temos primeiro
m c^2 = 9{,}11\times10^{-31}\times(3{,}00\times10^8)^2 = 9{,}11\times10^{-31}\times9{,}00\times10^{16} \approx 8,20\times10^{-14}\,\text{J},
de onde
K \approx (7,089 - 1)\times8,20\times10^{-14}\,\text{J} = 6,089\times8,20\times10^{-14}\,\text{J} \approx 4,99\times10^{-13}\,\text{J}.

Passo 4

Para dar uma ideia em unidades comuns de física de partículas, convertemos para elétron-volts usando 1\,\text{eV}=1,602\times10^{-19}\,\text{J}:
K \approx \frac{4,99\times10^{-13}}{1,602\times10^{-19}}\,\text{eV} \approx 3,12\times10^{6}\,\text{eV} =3,12\,\text{MeV}.

Resposta

O trabalho a ser realizado é aproximadamente
4,99\times10^{-13}\,\text{J} \quad\text{ou}\quad 3,12\,\text{MeV}.

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