4.3 Um vaso de volume
contém
moléculas. Supondo que não haja correlação alguma entre os locais das várias moléculas, calcule a probabilidade,
, de que uma região de o volume
(localizado em qualquer lugar do vaso) contém exatamente
moléculas.
(a) Mostre que
, onde
(0)
(b) Mostre que se
e
são grandes números, a função
assume um Forma gaussiana.
(c) Além disso, se
e
, mostre que a função
assume a forma de um Poisson distribuição:
(a) Mostre que
(b) Mostre que se
(c) Além disso, se
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade
de encontrar exatamente
moléculas numa sub-região de volume
de um vaso que contém, no total,
moléculas distribuídas aleatoriamente em volume
. O conteúdo central é reconhecer que o número de moléculas na sub-região segue uma distribuição binomial de parâmetros
e
, e depois derivar (a) média e desvio-padrão, (b) limite gaussiano para
e
grandes, e (c) limite de Poisson para
e
moderado.
Passo 2
Cada molécula tem probabilidade
de cair na sub-região, e as
moléculas são independentes, logo
Para essa binomial temos a média
e a variância
de modo que o desvio-padrão (rms) é
Passo 3
Se
e
, aplica-se o teorema central do limite (ou Stirling na binomial) para aproximar
e portanto
ou seja, forma gaussiana com média
e variância
.
Passo 4
No limite de região pequena
com
grande tais que
fique finito, temos
e como
, a binomial passa a
que é exatamente a distribuição de Poisson de parâmetro
.
Resposta
(a)
e
.
(b) Para e
grandes,
(b) Para
(c) Para
e
moderado,