4.3 Um vaso de volume V \quad{ }^{(0)} contém N \quad{ }^{(0)} moléculas. Supondo que não haja correlação alguma entre os locais das várias moléculas, calcule a probabilidade, P(N, V), de que uma região de o volume V (localizado em qualquer lugar do vaso) contém exatamente N moléculas.
(a) Mostre que N=N \quad{ }^{(0)} p \mathrm{e}(N) \mathrm{rms}=\left\{N \quad{ }^{(0)} p(1-p)\right\} 1 / 2, onde p=V / V \quad (0)
(b) Mostre que se N \quad \quad{ }^{(0)} \quad p e N \quad(0)(1-p) são grandes números, a função P(N, V) assume um Forma gaussiana.
(c) Além disso, se p \ll 1 e N \ll N \quad{ }^{(0)}, mostre que a função P(N, V) assume a forma de um Poisson distribuição:
P(N)=e-N(N)_{N!}^{N}

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade P(N,V) de encontrar exatamente N moléculas numa sub-região de volume V de um vaso que contém, no total, N^{(0)} moléculas distribuídas aleatoriamente em volume V^{(0)}. O conteúdo central é reconhecer que o número de moléculas na sub-região segue uma distribuição binomial de parâmetros n=N^{(0)} e p=V/V^{(0)}, e depois derivar (a) média e desvio-padrão, (b) limite gaussiano para N^{(0)}p e N^{(0)}(1-p) grandes, e (c) limite de Poisson para p\ll1 e N^{(0)}p moderado.

Passo 2

Cada molécula tem probabilidade
p = \frac{V}{V^{(0)}}
de cair na sub-região, e as N^{(0)} moléculas são independentes, logo
P(N,V) \;=\;\binom{N^{(0)}}{N}\,p^{N}\,(1-p)^{\,N^{(0)}-N}.
Para essa binomial temos a média
\bar N \;=\;\sum_{N=0}^{N^{(0)}}N\,P(N,V)\;=\;N^{(0)}\,p
e a variância
\sigma^2 \;=\;\langle (N-\bar N)^2\rangle \;=\;N^{(0)}\,p\,(1-p),
de modo que o desvio-padrão (rms) é
\mathrm{rms}=\sigma=\sqrt{N^{(0)}\,p\,(1-p)}.

Passo 3

Se N^{(0)}p\gg1 e N^{(0)}(1-p)\gg1, aplica-se o teorema central do limite (ou Stirling na binomial) para aproximar
\binom{N^{(0)}}{N}\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\,N^{(0)}p(1-p)}}\exp\!\Bigl[-\frac{(N-N^{(0)}p)^2}{2\,N^{(0)}p(1-p)}\Bigr],
e portanto
P(N,V)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\,N^{(0)}p(1-p)}}\exp\!\Bigl[-\frac{(N-N^{(0)}p)^2}{2\,N^{(0)}p(1-p)}\Bigr],
ou seja, forma gaussiana com média \bar N=N^{(0)}p e variância N^{(0)}p(1-p).

Passo 4

No limite de região pequena p\ll1 com N^{(0)} grande tais que \bar N=N^{(0)}p fique finito, temos
(1-p)^{\,N^{(0)}-N}\approx e^{-p\,N^{(0)}}=e^{-\bar N}, \qquad \binom{N^{(0)}}{N}\approx\frac{(N^{(0)})^{N}}{N!},
e como (N^{(0)}p)^{N}=(\bar N)^N, a binomial passa a
P(N)\approx e^{-\bar N}\,\frac{\bar N^N}{N!},
que é exatamente a distribuição de Poisson de parâmetro \bar N.

Resposta

(a) \bar N=N^{(0)}p e \mathrm{rms}=\sqrt{N^{(0)}p(1-p)}.
(b) Para N^{(0)}p e N^{(0)}(1-p) grandes,
P(N,V)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi\,N^{(0)}p(1-p)}}\exp\!\Bigl[-\frac{(N-N^{(0)}p)^2}{2\,N^{(0)}p(1-p)}\Bigr].
(c) Para p\ll1 e \bar N=N^{(0)}p moderado,
P(N)\approx e^{-\bar N}\,\frac{\bar N^N}{N!}.

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