Para que velocidade v as expressões Galileana e Lorentziana para x diferirão de 0,10 \% ? De 1 \% ? De 10 \% ?

Passo 1

O enunciado compara a transformação de coordenada espacial pela Relatividade Galileana
x_G = x - vt
com a Relatividade Restrita (Lorentziana)
x_L = \gamma\,(x - vt), \quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}.
Queremos achar o valor de v para o qual o desvio percentual entre x_G e x_L seja de 0,10 %, 1 % e 10 %.

Passo 2

Definimos a diferença relativa em relação a x_G como
\frac{x_L - x_G}{x_G} = \gamma - 1 \equiv \delta.
Basta, portanto, resolver
\gamma - 1 = \delta.

Passo 3

Escrevendo \gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2} com \beta = v/c, a equação
\gamma = 1 + \delta
implica
\frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 1 + \delta \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1 - \beta^2} = \frac{1}{1 + \delta} \quad\Longrightarrow\quad \beta^2 = 1 - \frac{1}{(1 + \delta)^2} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \sqrt{1 - \frac{1}{(1 + \delta)^2}}.

Passo 4

Agora calculamos \beta = v/c para \delta=0{,}001 ( 0,10 %), \delta=0{,}01 ( 1 %) e \delta=0{,}1 ( 10 %):
Para \delta = 0{,}001:
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}001)^2}} \approx 0{,}0447 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}0447\,c.
Para \delta = 0{,}01:
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}01)^2}} \approx 0{,}1404 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}1404\,c.
Para \delta = 0{,}1:
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{(1{,}1)^2}} \approx 0{,}4166 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}4166\,c.

Resposta

Para que a diferença entre x_G e x_L seja 0,10%: \quad v \approx 0{,}0447\,c 1%: \quad v \approx 0{,}1404\,c 10%: \quad v \approx 0{,}4166\,c

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