O vetor posição de uma partícula de
movendo-se no plano
varia com o tempo de acordo com
, onde
está dado em segundos
em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de
varia conforme
.
, determine © a velocidade do centro de massa
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas se movendo no plano
com certas posições em função do tempo. A massa da primeira é
e da segunda é
. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do centro de massa no tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e vetores de posição e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de cada partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se
é a posição, então a velocidade
é:
Vamos aplicar isso para as duas partículas.
Passo 3
Para a primeira partícula, a posição é:
Vamos derivar em relação ao tempo:
Passo 4
Para a segunda partícula, a posição é:
Derivando em relação ao tempo:
Passo 5
Agora, vamos calcular as velocidades das partículas no tempo
.
Para a primeira partícula:
Para a segunda partícula:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula do centro de massa para velocidades:
Aqui,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Somando tudo:
E o denominador:
Passo 8
Finalmente, dividindo pelo total das massas:
Resposta
A velocidade do centro de massa no tempo
é: