O vetor posição de uma partícula de movendo-se no plano varia com o tempo de acordo com , onde está dado em segundos em centímetros. Ao mesmo tempo, o vetor posição de uma partícula de varia conforme . , determine © a velocidade do centro de massa

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas partículas se movendo no plano com certas posições em função do tempo. A massa da primeira é e da segunda é . A gente precisa descobrir qual é a velocidade do centro de massa no tempo . Para isso, vamos usar conceitos de física sobre centro de massa e vetores de posição e velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de cada partícula é a derivada do vetor posição em relação ao tempo. Ou seja, se é a posição, então a velocidade é:
Vamos aplicar isso para as duas partículas.

Passo 3

Para a primeira partícula, a posição é:
Vamos derivar em relação ao tempo:

Passo 4

Para a segunda partícula, a posição é:
Derivando em relação ao tempo:

Passo 5

Agora, vamos calcular as velocidades das partículas no tempo .
Para a primeira partícula:
Para a segunda partícula:

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula do centro de massa para velocidades:
Aqui, e .

Passo 7

Substituindo os valores:
Primeiro, vamos calcular o numerador:
Somando tudo:
E o denominador:

Passo 8

Finalmente, dividindo pelo total das massas:

Resposta

A velocidade do centro de massa no tempo é:

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