Uma fissura central foi detectada numa chapa de largura 50 mm e espessura 25,4 \mathrm{~mm}, quando esta é carregada em tração por uma carga de 50 kN .
a) Para uma trinca de comprimento 2 \mathrm{a}=60 \mathrm{~mm}, qual o valor do fator de intensificação de tensões?
b) Caso o material tenha uma tenacidade à fratura de 24 \mathrm{MPa}(\mathrm{m})^{1 / 2}, qual o tamanho crítico da trinca. Considere f\left(\frac{a}{w}\right)=1
c) Qual o maior comprimento de trinca permitido para um coeficiente de segurança =3,0, supondo os mesmos dados do item (b)?
d) Considerando-se os dados dos itens (b) e (c), qual o fator de segurança no contexto do tamanho crítico da trinca? Desconsidere o raio de plastificação para todos os itens do problema. Sendo: \mathrm{S}_{\mathrm{y}}=210 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado trata de fratura linear elástica: temos uma chapa com largura 50,mm, espessura 25{,}4,mm, carregada em tração por F=50,kN, e uma fissura central de comprimento total 2a. Vamos usar o conceito de fator de intensidade de tensões em modo I,
K_I \;=\;\sigma\,\sqrt{\pi\,a}\;f\!\Bigl(\tfrac{a}{w}\Bigr),
onde \sigma=F/A é a tensão nominal, a é meia-trinca, e aqui f=1. Também usaremos o critério de fratura K_I = K_{IC} para achar o tamanho crítico da trinca.

Passo 2

Primeiro calculamos a tensão nominal \sigma. A área da seção é
A \;=\; \text{largura}\times \text{espessura} \;=\;50\text{ mm}\times25{,}4\text{ mm} =1270\text{ mm}^2 =1270\times10^{-6}\text{ m}^2.
Logo
\sigma \;=\;\frac{F}{A} \;=\;\frac{50\times10^3\text{ N}}{1270\times10^{-6}\text{ m}^2} \approx39{,}37\text{ MPa}.

Passo 3

(a) Para 2a=60,mm temos a=30,mm =0{,}03,m. Usando f=1,
K_I = \sigma\sqrt{\pi\,a} = 39{,}37\;\sqrt{\pi\times0{,}03}\;\text{MPa}\,\sqrt{\text{m}} \approx12{,}10\;\text{MPa}\,\sqrt{\text{m}}.

Passo 4

(b) O tamanho crítico a_c satisfaz K_I=K_{IC}. Assim,
K_{IC} = \sigma\sqrt{\pi\,a_c} \quad\Longrightarrow\quad a_c = \Bigl(\frac{K_{IC}}{\sigma\sqrt{\pi}}\Bigr)^{2}.
Substituindo K_{IC}=24,MPa \sqrt{\text{m}} e \sigma=39{,}37,MPa,
a_c = \Bigl(\tfrac{24}{39{,}37\,\sqrt{\pi}}\Bigr)^{2} \approx0{,}1184\text{ m} =118{,}4\text{ mm},
ou seja 2a_c\approx236{,}8,mm.

Passo 5

(c) Para um coeficiente de segurança de carga N_s=3{,}0, exigimos
K_I \;\le\;\frac{K_{IC}}{N_s} \;\equiv\;K_{\max}.
Logo K_{\max}=24/3=8,MPa \sqrt{\text{m}}, e o maior a permitido é
8 = \sigma\sqrt{\pi\,a_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad a_{\max} = \Bigl(\tfrac{8}{39{,}37\,\sqrt{\pi}}\Bigr)^{2} \approx0{,}01315\text{ m} =13{,}15\text{ mm},
ou 2a_{\max}\approx26{,}3,mm.

Passo 6

(d) No contexto de “tamanho crítico da trinca”, definimos um coeficiente de segurança geométrico pelo quociente entre o tamanho crítico sem segurança ( a_c do item b) e o tamanho crítico com N_s=3 (item c). Assim,
\text{FS}_{\text{tamanho}} = \frac{a_c}{a_{\max}} = \frac{118{,}4\text{ mm}}{13{,}15\text{ mm}} \approx9{,}0.

Resposta

(a) K_I\approx12{,}10,MPa \sqrt{\text{m}}.
(b) a_c\approx118{,}4,mm (ou 2a_c\approx236{,}8,mm).
(c) a_{\max}\approx13{,}15,mm (ou 2a_{\max}\approx26{,}3,mm).
(d) \text{FS}_{\text{tamanho}}\approx9{,}0.

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