O fluido operante de um ciclo de Carnot é
de um gás perfeito monoatômico no estado inicial de
e 350 K . O gás percorre o ciclo que consiste das quatro etapas reversíveis:
Etapa I - expansão isotérmica até a pressão de
;
Etapa II - expansão adiabática até a temperatura de 150 K ;
Etapa III - compressão isotérmica;
Etapa IV - compressão adiabática de volta ao estado inicial.
a) Desenhe o diagrama pV para esta sequência de processos.
b) Calcule
e
para cada uma das quatro etapas e para o ciclo e preencha obrigatoriamente a tabela abaixo.
Etapa I - expansão isotérmica até a pressão de
Etapa II - expansão adiabática até a temperatura de 150 K ;
Etapa III - compressão isotérmica;
Etapa IV - compressão adiabática de volta ao estado inicial.
a) Desenhe o diagrama pV para esta sequência de processos.
b) Calcule
Etapa I | Etapa II | Etapa III | Etapa IV | Ciclo | |
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c) Calcule a eficiência do ciclo. Responda no espaço limitado abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o ciclo de Carnot! A gente tem um gás perfeito monoatômico passando por quatro etapas diferentes: duas isotérmicas (com temperatura constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como trabalho, calor, energia interna, entropia e eficiência térmica. Vamos passo a passo entender cada etapa e calcular o que precisa.
Passo 2
Etapa I: Expansão Isotérmica até a pressão de 3,00 atm
Primeiro, nessa etapa, o gás se expande mantendo a temperatura constante (350 K). Como a temperatura é constante, a energia interna não muda (
). O trabalho realizado pelo gás pode ser calculado usando a fórmula para expansão isotérmica:
Como
, podemos reescrever em termos de pressão:
Substituindo os valores:
Vamos calcular isso:
O calor trocado (
) nessa etapa, como
, é igual ao trabalho:
Etapa I:
- $ q \approx 3.099 , J $
- $ w \approx -3.099 , J $
- $ \Delta U = 0 $
- $ \Delta H = 0 $ (pois $ \Delta U = 0 $ e $ H = U + pV $)
- $ \Delta S = \frac{q}{T} = \frac{3.099}{350} \approx 0.008856 , J/K $
- $ \Delta S_{viz} = -\frac{q}{T} \approx -0.008856 , J/K $
- $ \Delta S_{tot} = \Delta S + \Delta S_{viz} \approx 0 $
- $ \Delta G = \Delta H - T\Delta S = 0 - 350 \times 0.008856 \approx -3.099 , J $
Passo 3
Etapa II: Expansão Adiabática até a temperatura de 150 K
Agora, na expansão adiabática, não há troca de calor (
). O trabalho feito pelo gás altera a sua energia interna:
Para um gás monoatômico, usamos:
Substituindo:
Como
:
O calor:
Como não há troca de calor:
Para mudança de entalpia:
Etapa II:
- $ q = 0 , J $
- $ w \approx -4.988,4 , J $
- $ \Delta U \approx -4.988,4 , J $
- $ \Delta H \approx -7.482,6 , J $
- $ \Delta S = 0 $
- $ \Delta S_{viz} = 0 $
- $ \Delta S_{tot} = 0 $
- $ \Delta G \approx -7.482,6 , J $
Passo 4
Etapa III: Compressão Isotérmica
Nessa etapa, o gás é comprimido mantendo a temperatura constante (150 K). Assim como na Etapa I,
. O trabalho agora é:
Supondo que o processo isotérmico retorna à pressão inicial de 7,0 atm:
O calor:
A mudança de entropia:
Etapa III:
- $ q \approx -1.585 , J $
- $ w \approx 1.585 , J $
- $ \Delta U = 0 $
- $ \Delta H = 0 $
- $ \Delta S \approx -0.010567 , J/K $
- $ \Delta S_{viz} \approx 0.010567 , J/K $
- $ \Delta S_{tot} \approx 0 $
- $ \Delta G \approx 1.585 , J $
Passo 5
Etapa IV: Compressão Adiabática de volta ao estado inicial
Na última etapa, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao estado inicial (7,0 atm e 350 K). Novamente,
e:
Calculamos a mudança na energia interna:
Então:
Como
:
Etapa IV:
- $ q = 0 , J $
- $ w \approx 4.988,4 , J $
- $ \Delta U \approx 4.988,4 , J $
- $ \Delta H \approx 7.482,6 , J $
- $ \Delta S = 0 $
- $ \Delta S_{viz} = 0 $
- $ \Delta S_{tot} = 0 $
- $ \Delta G \approx 7.482,6 , J $
Passo 6
Ciclo Completo de Carnot
Agora, vamos somar as mudanças de cada etapa para o ciclo completo:
-
Calor (
): -
Trabalho (
): -
Energia Interna (
): -
Entalpia (
): -
Entropia (
): -
Entropia dos Vizinhos (
): -
Entropia Total (
): -
Gibbs (
):
Passo 7
Preenchendo a Tabela
Etapa I | Etapa II | Etapa III | Etapa IV | Ciclo | |
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3.099 | 0 | -1.585 | 0 | 1.514 |
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-3.099 | -4.988,4 | 1.585 | 4.988,4 | -1.514 |
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0 | -4.988,4 | 0 | 4.988,4 | 0 |
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0 | -7.482,6 | 0 | 7.482,6 | 0 |
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0.008856 | 0 | -0.010567 | 0 | -0.001711 |
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-0.008856 | 0 | 0.010567 | 0 | 0.001711 |
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0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
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-3.099 | -7.482,6 | 1.585 | 7.482,6 | -1.514 |
Passo 8
Cálculo da Eficiência do Ciclo
A eficiência (
) de um ciclo de Carnot é dada por:
Onde:
-
é a temperatura da fonte quente (350 K) -
é a temperatura da fonte fria (150 K)
Substituindo:
Resposta
A eficiência do ciclo de Carnot é aproximadamente 57,14%.