O fluido operante de um ciclo de Carnot é 1,50 mol de um gás perfeito monoatômico no estado inicial de 7,0 atm e 350 K . O gás percorre o ciclo que consiste das quatro etapas reversíveis:
Etapa I - expansão isotérmica até a pressão de 3,00 atm;
Etapa II - expansão adiabática até a temperatura de 150 K ;
Etapa III - compressão isotérmica;
Etapa IV - compressão adiabática de volta ao estado inicial.
a) Desenhe o diagrama pV para esta sequência de processos.
b) Calcule q, w, De e De para cada uma das quatro etapas e para o ciclo e preencha obrigatoriamente a tabela abaixo.
Etapa I Etapa II Etapa III Etapa IV Ciclo
q(J)
w(J)
De
De
De
De
De
De
c) Calcule a eficiência do ciclo. Responda no espaço limitado abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre o ciclo de Carnot! A gente tem um gás perfeito monoatômico passando por quatro etapas diferentes: duas isotérmicas (com temperatura constante) e duas adiabáticas (sem troca de calor). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como trabalho, calor, energia interna, entropia e eficiência térmica. Vamos passo a passo entender cada etapa e calcular o que precisa.

Passo 2

Etapa I: Expansão Isotérmica até a pressão de 3,00 atm
Primeiro, nessa etapa, o gás se expande mantendo a temperatura constante (350 K). Como a temperatura é constante, a energia interna não muda ( De). O trabalho realizado pelo gás pode ser calculado usando a fórmula para expansão isotérmica:
w = -nRT ln(VfVi)
Como pV = nRT, podemos reescrever em termos de pressão:
w = -nRT ln(pipf)
Substituindo os valores:
w = -1,50 times 8,314 times 350 times ln(7,03,0)
Vamos calcular isso:
w approx -1,50 times 8,314 times 350 times ln(2,333)
w approx -1,50 times 8,314 times 350 times 0,847
w approx -1,50 times 8,314 times 350 times 0,847 approx -3.099 , J
O calor trocado ( q) nessa etapa, como De, é igual ao trabalho:
q = -w approx 3.099 , J
Etapa I:
  • $ q \approx 3.099 , J $
  • $ w \approx -3.099 , J $
  • $ \Delta U = 0 $
  • $ \Delta H = 0 $ (pois $ \Delta U = 0 $ e $ H = U + pV $)
  • $ \Delta S = \frac{q}{T} = \frac{3.099}{350} \approx 0.008856 , J/K $
  • $ \Delta S_{viz} = -\frac{q}{T} \approx -0.008856 , J/K $
  • $ \Delta S_{tot} = \Delta S + \Delta S_{viz} \approx 0 $
  • $ \Delta G = \Delta H - T\Delta S = 0 - 350 \times 0.008856 \approx -3.099 , J $

Passo 3

Etapa II: Expansão Adiabática até a temperatura de 150 K
Agora, na expansão adiabática, não há troca de calor ( q = 0). O trabalho feito pelo gás altera a sua energia interna:
De
Para um gás monoatômico, usamos:
De
Substituindo:
De
De
De
Como q = 0:
w = De
O calor:
q = 0 , J
Como não há troca de calor:
De
De
De
De
Para mudança de entalpia:
De
De
Etapa II:
  • $ q = 0 , J $
  • $ w \approx -4.988,4 , J $
  • $ \Delta U \approx -4.988,4 , J $
  • $ \Delta H \approx -7.482,6 , J $
  • $ \Delta S = 0 $
  • $ \Delta S_{viz} = 0 $
  • $ \Delta S_{tot} = 0 $
  • $ \Delta G \approx -7.482,6 , J $

Passo 4

Etapa III: Compressão Isotérmica
Nessa etapa, o gás é comprimido mantendo a temperatura constante (150 K). Assim como na Etapa I, De. O trabalho agora é:
w = -nRT ln(pfpi)
Supondo que o processo isotérmico retorna à pressão inicial de 7,0 atm:
w = -1,50 times 8,314 times 150 times ln(3,07,0)
w approx -1,50 times 8,314 times 150 times ln(0,4286)
w approx -1,50 times 8,314 times 150 times (-0,847)
w approx 1,50 times 8,314 times 150 times 0,847 approx 1.585 , J
O calor:
q = -w approx -1.585 , J
A mudança de entropia:
De
De
De
De
De
Etapa III:
  • $ q \approx -1.585 , J $
  • $ w \approx 1.585 , J $
  • $ \Delta U = 0 $
  • $ \Delta H = 0 $
  • $ \Delta S \approx -0.010567 , J/K $
  • $ \Delta S_{viz} \approx 0.010567 , J/K $
  • $ \Delta S_{tot} \approx 0 $
  • $ \Delta G \approx 1.585 , J $

Passo 5

Etapa IV: Compressão Adiabática de volta ao estado inicial
Na última etapa, o gás é comprimido adiabaticamente de volta ao estado inicial (7,0 atm e 350 K). Novamente, q = 0 e:
De
Calculamos a mudança na energia interna:
De
De
De
Então:
w approx 4.988,4 , J
Como q = 0:
De
De
De
De
De
De
Etapa IV:
  • $ q = 0 , J $
  • $ w \approx 4.988,4 , J $
  • $ \Delta U \approx 4.988,4 , J $
  • $ \Delta H \approx 7.482,6 , J $
  • $ \Delta S = 0 $
  • $ \Delta S_{viz} = 0 $
  • $ \Delta S_{tot} = 0 $
  • $ \Delta G \approx 7.482,6 , J $

Passo 6

Ciclo Completo de Carnot
Agora, vamos somar as mudanças de cada etapa para o ciclo completo:
  • Calor ( q):
    qciclo = qI + qII + qIII + qIV approx 3.099 + 0 -1.585 + 0 approx 1.514 , J
  • Trabalho ( w):
    wciclo = wI + wII + wIII + wIV approx -3.099 -4.988,4 +1.585 +4.988,4 approx -1.514 , J
  • Energia Interna ( De):
    De
  • Entalpia ( De):
    De
  • Entropia ( De):
    De
  • Entropia dos Vizinhos ( De):
    De
  • Entropia Total ( De):
    De
  • Gibbs ( De):
    De

Passo 7

Preenchendo a Tabela
Etapa I Etapa II Etapa III Etapa IV Ciclo
q(J) 3.099 0 -1.585 0 1.514
w(J) -3.099 -4.988,4 1.585 4.988,4 -1.514
De 0 -4.988,4 0 4.988,4 0
De 0 -7.482,6 0 7.482,6 0
De 0.008856 0 -0.010567 0 -0.001711
De -0.008856 0 0.010567 0 0.001711
De 0 0 0 0 0
De -3.099 -7.482,6 1.585 7.482,6 -1.514

Passo 8

Cálculo da Eficiência do Ciclo
A eficiência ( eta) de um ciclo de Carnot é dada por:
eta = 1 - TfTi
Onde:
  • Ti é a temperatura da fonte quente (350 K)
  • Tf é a temperatura da fonte fria (150 K)
Substituindo:
eta = 1 - 150350 = 1 - 0,4286 approx 0,5714 , ou , 57,14%

Resposta

A eficiência do ciclo de Carnot é aproximadamente 57,14%.

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