Um fluxo de alimentação para uma coluna de destilação contém três componentes ( \mathrm{A}, \mathrm{B} e C ). A vazão mássica do componente A é 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, enquanto as vazões de B e C são desconhecidas. O destilado tem uma vazão de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, contendo 60 \mathrm{kg} / \mathrm{s} de A e 40 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de B . Sabe-se que 40 \% do componente A da alimentação vai para o resíduo. Desenhe o fluxograma de blocos do processo com as correntes e realize uma análise de graus de liberdade. Resposta: 0 graus de liberdade

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
  • O enunciado dá:
    • Alimentação contendo três componentes: A, B e C.
    • Vazão mássica do componente A na alimentação: F_A = 100\\ \mathrm{kg/s}.
    • As vazões mássicas de B e C na alimentação são desconhecidas (ou seja, F_B e F_C não fornecidas).
    • O destilado (corrente D) tem vazão total D = 100\\ \mathrm{kg/s} e contém D_A = 60\\ \mathrm{kg/s} de A e D_B = 40\\ \mathrm{kg/s} de B.
    • A informação “contendo 60\\ \mathrm{kg/s} de A e 40\\ \mathrm{kg/s} de B” implica que a vazão de C no destilado é D_C = 0\\ \mathrm{kg/s}.
    • Sabe-se que 40\% do componente A da alimentação vai para o resíduo (bottoms). Isso fornece uma relação entre W_A e F_A: W_A = 0{,}4\,F_A.
  • O que o enunciado pede:
    • Desenhar (descrever) o fluxograma de blocos do processo com as correntes e
    • Realizar uma análise de graus de liberdade (contar incógnitas e equações independentes e informar os graus de liberdade).
Observações imediatas (dados retirados do enunciado):
  • Peguei F_A=100\\ \mathrm{kg/s} do enunciado.
  • Peguei D=100\\ \mathrm{kg/s}, D_A=60\\ \mathrm{kg/s} e D_B=40\\ \mathrm{kg/s} do enunciado.
  • A partir de D, D_A e D_B (todos dados) deduzo que D_C=0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Peguei a fração de A que vai para o resíduo ( 40\%) do enunciado e, com F_A conhecido, deduzo W_A=0{,}4\cdot100=40\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 2

Descrever o fluxograma de blocos (texto + identificação de correntes e variáveis).
  • Bloco: Coluna de destilação (único aparelho), com três correntes:
    • Alimentação (feed) apontando para a coluna: corrente F com componentes F_A, F_B, F_C.
    • Destilado (overhead) saindo da coluna: corrente D com componentes D_A, D_B, D_C.
    • Resíduo / bottoms saindo da coluna: corrente W com componentes W_A, W_B, W_C.
Identificações (variáveis a usar):
\begin{aligned} &F_A,\\ F_B,\\ F_C &\text{(vazões mássicas dos componentes na alimentação)}\\\ &D_A,\\ D_B,\\ D_C &\text{(vazões mássicas dos componentes no destilado)}\\\ &W_A,\\ W_B,\\ W_C &\text{(vazões mássicas dos componentes no resíduo)} \end{aligned}õáçãõáõáí
Dados numéricos (do enunciado / deduzidos):
\begin{aligned} &F_A = 100\\ \mathrm{kg/s},\\\ &D = 100\\ \mathrm{kg/s},\\\ &D_A = 60\\ \mathrm{kg/s},\\\ &D_B = 40\\ \mathrm{kg/s},\\\ &D_C = 0\\ \mathrm{kg/s}\\ (\text{deduzido porque }D_A+D_B=100),\\\ &W_A = 0{,}4\,F_A = 0{,}4\cdot100=40\\ \mathrm{kg/s}. \end{aligned}
Comentário prático: o fluxograma seria um bloco “Coluna” com três setas: entrada F (rotulada com F_A=100,\\ F_B,\\ F_C), saída D (rotulada com D=100,\\ D_A=60,\\ D_B=40,\\ D_C=0) e saída W (rotulada com W_A=40,\\ W_B,\\ W_C). Como não posso desenhar graficamente aqui, a descrição acima é o fluxograma de blocos pedido.

Passo 3

Escrever as equações de balanço de massa (equações fundamentais do problema).
Para cada componente i\in\{A,B,C\} em regime estacionário (estado estacionário, sem acumulação na coluna) vale o balanço componente a componente:
F_i = D_i + W_i\qquad\text{para }i=A,B,C.
Estas são as três equações de balanço de componente.
Além disso, há equações fornecidas pelos dados / especificações do enunciado:
\begin{aligned} &F_A = 100\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{dado}),\\\ &D = 100\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{dado}),\\\ &D_A = 60\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{dado}),\\\ &D_B = 40\\ \mathrm{kg/s}\quad(\text{dado}),\\\ &W_A = 0{,}4\,F_A\quad(\text{dado: 40\% de A vai para o resíduo}). \end{aligned}í
Observação sobre D_C: como D é a vazão total do destilado e D_A+D_B=60+40=100, segue que D_C=0. Isso é uma equação/condição imposta pelos dados.

Passo 4

Contagem das incógnitas (variáveis) — escolha sistemática.
Uma forma natural e padrão é tomar como incógnitas as nove vazões mássicas componentes (uma por componente em cada corrente):
F_A,\\ F_B,\\ F_C,\quad D_A,\\ D_B,\\ D_C,\quad W_A,\\ W_B,\\ W_C.
Assim temos 9 incógnitas iniciais.
Agora identifique quais dessas incógnitas já são conhecidas por dados:
  • Conhecidas diretamente: F_A=100, D=100 (isto é total do destilado), D_A=60, D_B=40.
  • Deduzimos D_C=0 (pois D_A+D_B=100).
  • Também, a condição de 40% dá W_A = 0{,}4\,F_A = 40.
Portanto, das 9 incógnitas, algumas são já determinadas pelos dados: F_A,\\ D_A,\\ D_B,\\ D_C,\\ W_A são conhecidos numericamente. Restam, potencialmente, como incógnitas livres:
F_B,\\ F_C,\\ W_B,\\ W_C.
Isso é 4 incógnitas remanescentes quando se substituem os dados.

Passo 5

Contagem das equações independentes e análise de graus de liberdade.
Opção padrão (contagem explícita total):
  • Começamos com 9 incógnitas (as nove vazões componentes).
  • Temos 3 equações de balanço componente a componente: \begin{aligned} &F_A = D_A + W_A\quad(\text{A}),\\\ &F_B = D_B + W_B\quad(\text{B}),\\\ &F_C = D_C + W_C\quad(\text{C}). \end{aligned}
  • Temos ainda as especificações/dados do enunciado (cada uma é uma equação/condição): F_A=100,\quad D=100,\quad D_A=60,\quad D_B=40,\quad W_A=0{,}4\,F_A.
  • A partir de D=100 e D_A+D_B=100 deduz-se D_C=0 (condição já listada).
Agora vamos contar equações independentes. Podemos listar as equações independentes de forma explícita:
  1. Balanço A: F_A = D_A + W_A.
  2. Balanço B: F_B = D_B + W_B.
  3. Balanço C: F_C = D_C + W_C.
  4. Especificação: F_A = 100.
  5. Especificação: D_A = 60.
  6. Especificação: D_B = 40.
  7. Especificação: D = 100 (que, combinada com 5 e 6, fixa D_C=0).
  8. Especificação: W_A = 0{,}4\,F_A.
Contando: isto dá 8 equações explícitas. Além disso, a dedução D_C=0 pode ser vista como a 9.ª condição (embora ela decorra de 5,6,7, muitos enunciados tratam “o destilado contém 60 kg/s de A e 40 kg/s de B” como informação que fixa D_A e D_B e, implicitamente, D_C=0). Se tratarmos D_C=0 como condição explícita adicional, chegamos a 9 equações.
Resumo da contagem prática:
  • Incógnitas totais: 9.
  • Equações independentes (contando as especificações e a dedução D_C=0 como condições impostas): 9.
Graus de liberdade:
\text{DOF} = \text{nº incógnitas} - \text{nº equações independentes} = 9 - 9 = 0.ºóºçõ
Interpretação verbal (importante): DOF =0 significa que o problema está completamente especificado — não sobram parâmetros livres para ajustar. Todas as vazões componentes podem ser determinadas (algumas diretamente a partir dos dados, outras através dos balanços). Em termos pedagógicos, algumas equações são numéricas/diretamente dadas (por exemplo, F_A=100, D_A=60, D_B=40, fração de A que vai para W), e as demais equações são os balanços que fecham o sistema. Assim não resta liberdade para escolher variáveis adicionais.

Passo 6

Calcular as vazões que podem ser imediatamente obtidas (usar as equações já listadas para avaliar algumas vazões).
  • Da condição W_A = 0{,}4\,F_A com F_A=100:
W_A = 0{,}4\cdot100 = 40\\ \mathrm{kg/s}.
  • Do dado do destilado e fechamento do destilado:
D_C = D - D_A - D_B = 100 - 60 - 40 = 0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Balanços componente a componente dão relações que permitem obter as incógnitas restantes se houver dados adicionais; explicitamente:
\begin{aligned} &F_B = D_B + W_B = 40 + W_B,\\\ &F_C = D_C + W_C = 0 + W_C = W_C. \end{aligned}
Essas duas igualdades mostram as ligações entre as incógnitas remanescentes. No conjunto completo de equações já contamos, todas as incógnitas são especificadas (DOF =0) — as vazões que não aparecem como números “diretos” nos dados ficam relacionadas por essas igualdades e podem ser obtidas a partir dos balanços quando o sistema estiver sendo montado numericamente (neste enunciado as quantias numéricas fornecidas são suficientes para fixar o sistema).

Resposta

0 graus de liberdade

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