Um fluxo de alimentação para uma coluna de destilação contém três componentes (
e C ). A vazão mássica do componente A é
, enquanto as vazões de B e C são desconhecidas. O destilado tem uma vazão de
, contendo 60
de A e
de B . Sabe-se que
do componente A da alimentação vai para o resíduo. Desenhe o fluxograma de blocos do processo com as correntes e realize uma análise de graus de liberdade. Resposta: 0 graus de liberdade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que se pede.
-
O enunciado dá:
- Alimentação contendo três componentes: A, B e C.
- Vazão mássica do componente A na alimentação:
. - As vazões mássicas de B e C na alimentação são desconhecidas (ou seja,
e não fornecidas). - O destilado (corrente D) tem vazão total
e contém de A e de B. - A informação “contendo
de A e de B” implica que a vazão de C no destilado é . - Sabe-se que
do componente A da alimentação vai para o resíduo (bottoms). Isso fornece uma relação entre e : .
-
O que o enunciado pede:
- Desenhar (descrever) o fluxograma de blocos do processo com as correntes e
- Realizar uma análise de graus de liberdade (contar incógnitas e equações independentes e informar os graus de liberdade).
Observações imediatas (dados retirados do enunciado):
- Peguei
do enunciado. - Peguei
, e do enunciado. - A partir de
, e (todos dados) deduzo que . - Peguei a fração de A que vai para o resíduo (
) do enunciado e, com conhecido, deduzo .
Passo 2
Descrever o fluxograma de blocos (texto + identificação de correntes e variáveis).
- Bloco: Coluna de destilação (único aparelho), com três correntes:
- Alimentação (feed) apontando para a coluna: corrente
com componentes . - Destilado (overhead) saindo da coluna: corrente
com componentes . - Resíduo / bottoms saindo da coluna: corrente
com componentes .
- Alimentação (feed) apontando para a coluna: corrente
Identificações (variáveis a usar):
Dados numéricos (do enunciado / deduzidos):
Comentário prático: o fluxograma seria um bloco “Coluna” com três setas: entrada
(rotulada com
), saída
(rotulada com
) e saída
(rotulada com
). Como não posso desenhar graficamente aqui, a descrição acima é o fluxograma de blocos pedido.
Passo 3
Escrever as equações de balanço de massa (equações fundamentais do problema).
Para cada componente
em regime estacionário (estado estacionário, sem acumulação na coluna) vale o balanço componente a componente:
Estas são as três equações de balanço de componente.
Além disso, há equações fornecidas pelos dados / especificações do enunciado:
Observação sobre
: como
é a vazão total do destilado e
, segue que
. Isso é uma equação/condição imposta pelos dados.
Passo 4
Contagem das incógnitas (variáveis) — escolha sistemática.
Uma forma natural e padrão é tomar como incógnitas as nove vazões mássicas componentes (uma por componente em cada corrente):
Assim temos 9 incógnitas iniciais.
Agora identifique quais dessas incógnitas já são conhecidas por dados:
- Conhecidas diretamente:
, (isto é total do destilado), , . - Deduzimos
(pois ). - Também, a condição de 40% dá
.
Portanto, das 9 incógnitas, algumas são já determinadas pelos dados:
são conhecidos numericamente. Restam, potencialmente, como incógnitas livres:
Isso é 4 incógnitas remanescentes quando se substituem os dados.
Passo 5
Contagem das equações independentes e análise de graus de liberdade.
Opção padrão (contagem explícita total):
- Começamos com 9 incógnitas (as nove vazões componentes).
- Temos 3 equações de balanço componente a componente:
- Temos ainda as especificações/dados do enunciado (cada uma é uma equação/condição):
- A partir de
e deduz-se (condição já listada).
Agora vamos contar equações independentes. Podemos listar as equações independentes de forma explícita:
- Balanço A:
. - Balanço B:
. - Balanço C:
. - Especificação:
. - Especificação:
. - Especificação:
. - Especificação:
(que, combinada com 5 e 6, fixa ). - Especificação:
.
Contando: isto dá 8 equações explícitas. Além disso, a dedução
pode ser vista como a 9.ª condição (embora ela decorra de 5,6,7, muitos enunciados tratam “o destilado contém 60 kg/s de A e 40 kg/s de B” como informação que fixa
e
e, implicitamente,
). Se tratarmos
como condição explícita adicional, chegamos a 9 equações.
Resumo da contagem prática:
- Incógnitas totais: 9.
- Equações independentes (contando as especificações e a dedução
como condições impostas): 9.
Graus de liberdade:
Interpretação verbal (importante): DOF
significa que o problema está completamente especificado — não sobram parâmetros livres para ajustar. Todas as vazões componentes podem ser determinadas (algumas diretamente a partir dos dados, outras através dos balanços). Em termos pedagógicos, algumas equações são numéricas/diretamente dadas (por exemplo,
,
,
, fração de A que vai para
), e as demais equações são os balanços que fecham o sistema. Assim não resta liberdade para escolher variáveis adicionais.
Passo 6
Calcular as vazões que podem ser imediatamente obtidas (usar as equações já listadas para avaliar algumas vazões).
- Da condição
com :
- Do dado do destilado e fechamento do destilado:
- Balanços componente a componente dão relações que permitem obter as incógnitas restantes se houver dados adicionais; explicitamente:
Essas duas igualdades mostram as ligações entre as incógnitas remanescentes. No conjunto completo de equações já contamos, todas as incógnitas são especificadas (DOF
) — as vazões que não aparecem como números “diretos” nos dados ficam relacionadas por essas igualdades e podem ser obtidas a partir dos balanços quando o sistema estiver sendo montado numericamente (neste enunciado as quantias numéricas fornecidas são suficientes para fixar o sistema).
Resposta
0 graus de liberdade