O fluxo de alimentação para uma coluna de destilação tem uma vazão de 300 \mathrm{mol} / \mathrm{h} e contém 50 \% \mathrm{em} \mathrm{mol} do componente A e 50 \% \mathrm{em} \mathrm{mol} do componente B . O fluxo do destilado é de 200 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} e contém 60 \% em mol do componente A. Desenhe o fluxograma de blocos do processo com as correntes e realize uma análise de graus de liberdade. Resposta: 0 graus de liberdade

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (resumido e claro):
  • Dados fornecidos:
    • Vazão de alimentação: F = 300\\ \mathrm{mol/h}.
    • Composição da alimentação (mol fracionária): x_{F,A} = 50\% = 0{,}50 e x_{F,B} = 50\% = 0{,}50.
    • Vazão do destilado: D = 200\\ \mathrm{mol/h}.
    • Composição do destilado (mol fracionária): x_{D,A} = 60\% = 0{,}60 e x_{D,B} = 40\% = 0{,}40.
  • O que pede:
    1. Desenhar o fluxograma de blocos do processo com as correntes.
    2. Realizar análise de graus de liberdade (ou seja, determinar se o sistema está determinado, subdeterminados ou sobredeterminado).

Passo 2

Fluxograma de blocos (descrição textual do desenho pedida):
  • Uma caixa representando a coluna de destilação.
  • Uma corrente entrando na coluna: alimentação F com composição x_{F,A}=0{,}50.
  • Duas correntes saindo da coluna:
    • Destilado (topo) D com D=200\\ \mathrm{mol/h} e x_{D,A}=0{,}60.
    • Fundo (bottoms) B com vazão B (desconhecida) e composição x_{B,A} (desconhecida).
Em termos de nomes de variáveis (para usar nas contas):
  • Vazões: F,\\ D,\\ B.
  • Frações molares do componente A nas correntes: x_{F,A},\\ x_{D,A},\\ x_{B,A}.
  • Como é mistura binária, as frações de B são x_{i,B}=1-x_{i,A} (não são independentes).

Passo 3

Contagem de variáveis (explicando o raciocínio didaticamente):
  • Em princípio, cada corrente tem uma vazão e uma composição para componente A. Assim, as variáveis seriam:
    F,\\ D,\\ B,\\ x_{F,A},\\ x_{D,A},\\ x_{B,A}.
    Isso dá 6 variáveis no total.
  • Mas o enunciado já fornece alguns valores numéricos que não são variáveis desconhecidas:
    F=300\\ \mathrm{mol/h},\quad x_{F,A}=0{,}50,\quad D=200\\ \mathrm{mol/h},\quad x_{D,A}=0{,}60.
    Portanto as variáveis realmente desconhecidas que precisamos determinar são apenas:
    B\quad\text{e}\quad x_{B,A}.
    Ou seja, número de incógnitas independentes =2.
  • Observação didática: em uma mistura binária somente a fração molar de um componente (por exemplo A) é independente; a do outro é 1 menos essa. Por isso trabalhamos só com x_{\cdot,A}.

Passo 4

Equações disponíveis (explicando a origem física de cada uma):
  • Equação 1: balanço global de massa (moles totais) em regime estacionário e sem acumulação:
    F = D + B.
    Isso decorre da conservação de matéria: tudo que entra deve sair.
  • Equação 2: balanço de componente A (moles de A por unidade de tempo):
    F\,x_{F,A} = D\,x_{D,A} + B\,x_{B,A}.
    Essa equação garante que a taxa de chegada de A na coluna seja igual à taxa de saída de A pelos produtos.
  • Observação didática: não precisamos de uma equação separada para o componente B porque, sendo binário, a equação de A e a equação total já implicam a de B (elas são linearmente dependentes).
  • Então, número de equações independentes disponíveis =2.

Passo 5

Resolver as equações (mostrar conta passo a passo, isso também confirma que o sistema está determinado):
  • Primeiro use o balanço global para achar B:
    F = D + B \quad\Rightarrow\quad B = F - D.
    Substituindo os valores dados:
    B = 300 - 200 = 100\\ \mathrm{mol/h}.
  • Agora usar o balanço de A para achar x_{B,A}:
    F\,x_{F,A} = D\,x_{D,A} + B\,x_{B,A}.
    Substituindo os números:
    300\cdot 0{,}50 = 200\cdot 0{,}60 + 100\cdot x_{B,A}.
    Calcular os termos:
    150 = 120 + 100\,x_{B,A}.
    Isolando x_{B,A}:
    100\,x_{B,A} = 150 - 120 = 30 \quad\Rightarrow\quad x_{B,A} = \frac{30}{100} = 0{,}30.
  • Resultado numérico (checada): B=100\\ \mathrm{mol/h} e x_{B,A}=0{,}30 (ou seja, 30\% em mol de A no fundo).

Passo 6

Análise de graus de liberdade (explicação do conceito e aplicação aqui):
  • Definição prática usada: graus de liberdade = número de incógnitas independentes menos o número de equações independentes.
  • Contagem feita anteriormente: incógnitas independentes =2 (são B e x_{B,A}); equações independentes =2 (balanço global e balanço de A).
  • Portanto: \text{graus de liberdade} = 2 - 2 = 0.
  • Interpretação: o sistema está completamente determinado (sem graus livres). Com as especificações dadas ( F,\\ x_{F,A},\\ D,\\ x_{D,A}) os produtos B e x_{B,A} ficam univocamente definidos. Não se pode mudar uma variável livremente sem violar os balanços ou as especificações.

Resposta

0 graus de liberdade

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