O fluxo magnético através de uma espira conectada a um resistor R depende do tempo de acordo com phiB=5 t^4+3 t^2+4, com t em segundos e phiB em Weber. Determine: (a) a expressão de varepsilon, (b) o valor de varepsilon para t=3 s, © o valor de R para que a potência consumida nele seja igual a 150 W , para t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre fluxo magnético em uma espira ligada a um resistor. A fórmula do fluxo magnético é dada por:
phiB = 5 t^4 + 3 t^2 + 4
Onde $ t $ é o tempo em segundos e $ \phi_{B} $ é o fluxo magnético em Weber. Precisamos resolver três partes:
(a) Encontrar a expressão de $ \varepsilon $ (força eletromotriz),
(b) Calcular $ \varepsilon $ quando $ t = 3 $ segundos,
© Determinar o valor de $ R $ para que a potência consumida seja 150 W quando $ t = 5 $ segundos.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é $ \varepsilon $. A força eletromotriz induzida numa espira é relacionada à variação do fluxo magnético através dela. Isso é dado pela Lei de Faraday:
varepsilon
O sinal negativo indica que a EMF induzida se opõe à mudança no fluxo, mas para nossos cálculos, podemos focar no valor absoluto.

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão do fluxo magnético $ \phi_{B} $ em relação ao tempo $ t $:
phiB
Derivando termo a termo:
t
Portanto, a expressão da força eletromotriz $ \varepsilon $ é:
phiB = 5 t^4 + 3 t^2 + 4

Passo 4

Agora, para o item (a), já temos a expressão de $ \varepsilon $:
varepsilon

Passo 5

Vamos para o item (b). Queremos calcular $ \varepsilon $ quando $ t = 3 $ segundos. Basta substituir:
varepsilon

Passo 6

Finalmente, para o item ©, precisamos encontrar o valor de $ R $ tal que a potência $ P $ consumida seja 150 W quando $ t = 5 $ segundos. Sabemos que:
R
Primeiro, calculamos $ \varepsilon $ para $ t = 5 $:
P
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar $ R $:
t = 5
Calculando:
P = varepsilon^2R

Resposta

(a) A expressão de $ \varepsilon $ é $ \varepsilon = 20 t^{3} + 6 t $ volts.
(b) Para $ t = 3 $ s, $ \varepsilon = 558 $ V.
© O valor de $ R $ para que a potência consumida seja 150 W quando $ t = 5 $ s é aproximadamente $ 42.739 $ Ω.

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