Um foguete é lançado do repouso em x=0 e viaja ao longo de uma trajetória parabólica descrita por y^{2}=\left[120 \times 10^{3} x\right]. Se a componente x da aceleração é a_{x}=\left(\frac{1}{4} t^{2}\right), onde t está em segundos, determine a magnitude da velocidade e da aceleração do foguete quando t=10.

Passo 1

Calma — vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O que temos:
  • O foguete parte do repouso em x=0. Isso significa que, no instante inicial t=0, temos v_x(0)=0 e v_y(0)=0 e x(0)=0.
  • A trajetória do foguete satisfaz a equação (esta veio do enunciado):
y^{2} = \left[120 \times 10^{3}\,x\right].
Vou chamar a constante C = 120\times 10^{3} para simplificar as contas.
  • A componente x da aceleração é dada por (função do tempo, do enunciado):
a_x(t)=\frac{1}{4}\,t^{2}.
  • A pergunta: determinar a magnitude da velocidade e a magnitude da aceleração do foguete quando t=10 (segundos).
Esses são todos os dados relevantes. A partir daí vamos obter v_x(t), x(t), y(t), v_y(t), a_y(t) e finalmente as magnitudes pedidas.

Passo 2

Primeiro vamos obter v_x(t) integrando a_x(t). Lembre que a_x = \dfrac{d v_x}{dt}. Como o foguete parte do repouso, v_x(0)=0. Então:
\frac{d v_x}{dt} = \frac{1}{4} t^{2}.
Integramos ambos os lados em relação a t:
v_x(t) = \int_0^{t} \frac{1}{4}\tau^{2}\,d\tau + v_x(0).
Aqui usei \tau como variável de integração para não confundir com o limite t. Como v_x(0)=0, fica
v_x(t)=\int_0^{t}\frac{1}{4}\tau^{2}\,d\tau.

Passo 3

Calcule a integral:
v_x(t)=\frac{1}{4}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{1}{12}t^{3}.
Portanto, em t=10,
v_x(10)=\frac{1}{12}\cdot 10^{3}=\frac{1000}{12}=\frac{250}{3}\\ \text{(m/s)}\approx 83{,}333\\ \text{m/s}.

Passo 4

Agora precisamos de x(t) para poder usar a equação da trajetória e obter y(t). Sabemos que v_x=\dfrac{dx}{dt}. Usando v_x(t)=\dfrac{1}{12}t^{3} e x(0)=0, integramos:
x(t)=\int_0^{t}\frac{1}{12}\tau^{3}\,d\tau + x(0)=\frac{1}{12}\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{1}{48}t^{4}.

Passo 5

Avalie x em t=10:
x(10)=\frac{1}{48}\cdot 10^{4}=\frac{10000}{48}=\frac{625}{3}\\ \text{(m)}\approx 208{,}333\\ \text{m}.

Passo 6

Use agora a equação da trajetória para obter y(10). Lembre que defini C=120\times 10^{3}=120000. Da equação do enunciado:
y^{2}=C x.
Substituindo x(10)=\dfrac{625}{3}:
y(10)^{2}=120000\cdot\frac{625}{3}.
Calcule o produto: 120000\cdot\frac{625}{3}=\frac{120000}{3}\cdot 625=40000\cdot 625=25\,000\,000. Assim
y(10)^{2}=25\,000\,000\quad\Rightarrow\quad y(10)=\sqrt{25\,000\,000}=5000\\ \text{(m)}.
(Escolhemos a raiz positiva porque a posição vertical do foguete é presumivelmente positiva.)

Passo 7

Agora precisamos de v_y(t)=\dfrac{dy}{dt}. Para relacionar v_y com v_x usamos diferenciação da equação da trajetória. A equação é
y^{2}=C x.
Diferenciando ambos os lados em relação a t (regra da cadeia), obtemos:
2y\frac{dy}{dt}=C\frac{dx}{dt}.
Em notação mais curta,
2y\,v_y = C\,v_x.
Isso é consequência direta da regra da cadeia: ao derivar y^{2} obtemos 2y\dot y, e ao derivar C x obtemos C\dot x.

Passo 8

Isolando v_y,
v_y=\frac{C\,v_x}{2y}.
Agora substituímos os valores em t=10: C=120000, v_x(10)=\dfrac{250}{3} e y(10)=5000. Então
v_y(10)=\frac{120000\cdot\frac{250}{3}}{2\cdot 5000}.
Calcule passo a passo: 120000\cdot\frac{250}{3}=\frac{120000}{3}\cdot 250=40000\cdot 250=10\,000\,000. E 2\cdot 5000=10000. Portanto
v_y(10)=\frac{10\,000\,000}{10\,000}=1000\\ \text{m/s}.

Passo 9

A magnitude da velocidade é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Substituindo v_x(10)=\dfrac{250}{3} e v_y(10)=1000:
\|\mathbf{v}(10)\|=\sqrt{\left(\frac{250}{3}\right)^{2}+1000^{2}}=\sqrt{\frac{62500}{9}+1\,000\,000}=\sqrt{\frac{9\,000\,000+62\,500}{9}}=\sqrt{\frac{9\,062\,500}{9}}=\frac{\sqrt{9\,062\,500}}{3}.
Numericamente,
\|\mathbf{v}(10)\|\approx 1003{,}47\\ \text{m/s}.

Passo 10

Agora calculamos a componente y da aceleração, a_y=\ddot y. Partimos novamente da relação já diferenciada:
2y\,v_y = C\,v_x.
Diferenciando essa igualdade em relação ao tempo para obter as acelerações, aplicamos a regra do produto no lado esquerdo:
2\left(\dot y\,\dot y + y\,\ddot y\right) = C\,\ddot x.
Em notação:
2(v_y^{2}+y\,a_y)=C\,a_x.
Isolando a_y,
a_y=\frac{C\,a_x - 2v_y^{2}}{2y}.
Essa fórmula veio diretamente de diferenciar a relação entre posições/velocidades imposta pela curva.

Passo 11

Agora substituímos os valores em t=10: C=120000, a_x(10)=\dfrac{1}{4}\cdot 10^{2}=25, v_y(10)=1000 e y(10)=5000. Então
a_y(10)=\frac{120000\cdot 25 - 2\cdot 1000^{2}}{2\cdot 5000}.
Calcule: 120000\cdot 25=3\,000\,000. E 2\cdot 1000^{2}=2\,000\,000. Assim o numerador é 1\,000\,000. O denominador 2\cdot 5000=10000. Portanto
a_y(10)=\frac{1\,000\,000}{10\,000}=100\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 12

A magnitude da aceleração é
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{a_x^{2}+a_y^{2}}.
Substituindo a_x(10)=25 e a_y(10)=100:
\|\mathbf{a}(10)\|=\sqrt{25^{2}+100^{2}}=\sqrt{625+10\,000}=\sqrt{10\,625}=25\sqrt{17}\\ \text{m/s}^{2}.
Numericamente,
\|\mathbf{a}(10)\|\approx 103{,}08\\ \text{m/s}^{2}.

Resposta

\|\mathbf{v}(10)\|\approx 1003{,}47\\ \text{m/s}
\|\mathbf{a}(10)\|=25\sqrt{17}\\ \text{m/s}^{2}\approx 103{,}08\\ \text{m/s}^{2}

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