Um foguete é lançado do repouso em
e viaja ao longo de uma trajetória parabólica descrita por
. Se a componente
da aceleração é
, onde
está em segundos, determine a magnitude da velocidade e da aceleração do foguete quando
.
Passo 1
Calma — vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O que temos:
- O foguete parte do repouso em
. Isso significa que, no instante inicial , temos e e . - A trajetória do foguete satisfaz a equação (esta veio do enunciado):
Vou chamar a constante
para simplificar as contas.
- A componente
da aceleração é dada por (função do tempo, do enunciado):
- A pergunta: determinar a magnitude da velocidade e a magnitude da aceleração do foguete quando
(segundos).
Esses são todos os dados relevantes. A partir daí vamos obter
,
,
,
,
e finalmente as magnitudes pedidas.
Passo 2
Primeiro vamos obter
integrando
. Lembre que
. Como o foguete parte do repouso,
. Então:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Aqui usei
como variável de integração para não confundir com o limite
. Como
, fica
Passo 3
Calcule a integral:
Portanto, em
,
Passo 4
Agora precisamos de
para poder usar a equação da trajetória e obter
. Sabemos que
. Usando
e
, integramos:
Passo 5
Avalie
em
:
Passo 6
Use agora a equação da trajetória para obter
. Lembre que defini
. Da equação do enunciado:
Substituindo
:
Calcule o produto:
. Assim
(Escolhemos a raiz positiva porque a posição vertical do foguete é presumivelmente positiva.)
Passo 7
Agora precisamos de
. Para relacionar
com
usamos diferenciação da equação da trajetória. A equação é
Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia), obtemos:
Em notação mais curta,
Isso é consequência direta da regra da cadeia: ao derivar
obtemos
, e ao derivar
obtemos
.
Passo 8
Isolando
,
Agora substituímos os valores em
:
,
e
. Então
Calcule passo a passo:
. E
. Portanto
Passo 9
A magnitude da velocidade é
Substituindo
e
:
Numericamente,
Passo 10
Agora calculamos a componente
da aceleração,
. Partimos novamente da relação já diferenciada:
Diferenciando essa igualdade em relação ao tempo para obter as acelerações, aplicamos a regra do produto no lado esquerdo:
Em notação:
Isolando
,
Essa fórmula veio diretamente de diferenciar a relação entre posições/velocidades imposta pela curva.
Passo 11
Agora substituímos os valores em
:
,
,
e
. Então
Calcule:
. E
. Assim o numerador é
. O denominador
. Portanto
Passo 12
A magnitude da aceleração é
Substituindo
e
:
Numericamente,