Questão 3 [10%] - Para as questões a seguir, assinale com C, a caneta, as afirmações que considerar corretas, e com E aquelas que considerar incorretas.
A Lei de Poisson descreve o comportamento de materiais sólidos ao sofrerem deformações, estabelecendo que, quando um corpo é tracionado ao longo de um eixo, ele tende a se contrair nas direções perpendiculares. Essa relação é quantificada pelo coeficiente de Poisson \nu, definido como a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal, sendo seu valor tipicamente positivo e inferior a 0,5 para materiais sólidos isotrópicos.
Em sua forma mais geral, a Lei de Hooke relaciona os componentes do tensor de tensão aos componentes do tensor de deformação por meio de coeficientes que dependem das propriedades elásticas do material. Para materiais isotrópicos, essa relação pode ser expressa em função de apenas dois parâmetros independentes: o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u_{r}.
Um elemento de aço foi tracionado até atingir uma deformação total de 6,0 \times 10^{-3} \mathrm{~mm} / mm. Sabendo que a tensão de escoamento desse aço é de 300 MPa e que o módulo de
( F ) elasticidade é de 200 GPa , é correto afirmar que a deformação residual do elemento, após a retirada da força de tração, será de 3,5 \times 10^{-3} \mathrm{~mm} / \mathrm{mm}.
O módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão-deformação e representa a quantidade máxima de energia de deformação, por unidade de volume, que o material é capaz de absorver até atingir a tensão máxima.
Um material isotrópico, com módulo de elasticidade E=210 \mathrm{GPa} e coeficiente de Poisson v=0,3, está submetido a um estado uniaxial de tensão \operatorname{com} \sigma_{x}=100 \mathrm{MPa} e (V) \sigma_{y}=\sigma_{z}=0 \mathrm{MPa}. Considerando a Lei de Hooke generalizada, a deformação na direção y será aproximadamente 1,43 \times 10^{-4} \mathrm{~mm} / \mathrm{mm}.

Passo 1

O enunciado pede que eu assinale com C (correta) ou E (incorreta) várias afirmações. Vou listar claramente cada afirmação e os dados numéricos fornecidos para não nos perdermos.
Afirmações a avaliar (resumidas):
  1. A Lei de Poisson: definição do coeficiente de Poisson \nu como razão entre deformação transversal e longitudinal; \nu tipicamente positivo e <0,5 para sólidos isotrópicos.
  2. A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos pode ser expressa em função de apenas dois parâmetros independentes: o módulo de elasticidade E e o módulo de resiliência u_{r}.
  3. Um elemento de aço foi tracionado até deformação total \;6{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}. Sabendo que a tensão de escoamento é 300\\ \mathrm{MPa} e que o módulo de elasticidade é 200\\ \mathrm{GPa}, a deformação residual após retirada da força será 3{,}5\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm/mm}.
    • Dados usados aqui: \varepsilon_{\text{total}}=6{,}0\times 10^{-3}, \sigma_{\text{esco}}=300\\ \mathrm{MPa}, E=200\\ \mathrm{GPa}.
  4. O módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão–deformação e representa a quantidade máxima de energia de deformação, por unidade de volume, que o material é capaz de absorver até atingir a tensão máxima.
  5. Material isotrópico com E=210\\ \mathrm{GPa} e \nu=0{,}3 submetido a estado uniaxial com \sigma_x=100\\ \mathrm{MPa} e \sigma_y=\sigma_z=0\\ \mathrm{MPa}. A deformação na direção y será aproximadamente 1{,}43\times 10^{-4}\\ \mathrm{mm/mm}.
    • Dados usados: E=210\\ \mathrm{GPa}, \nu=0{,}3, \sigma_x=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=\sigma_z=0.
A partir daqui eu avalio cada afirmação com explicações didáticas e cálculos.

Passo 2

Avaliação da afirmação 1 (Lei de Poisson).
Primeiro, o que é o coeficiente de Poisson? É definido como a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal quando um corpo sofre deformação axial. Em notação:
\nu = -\dfrac{\varepsilon_{\text{transversal}}}{\varepsilon_{\text{longitudinal}}},
onde o sinal negativo é convenção (porque, numa tração positiva axial, a deformação transversal é normalmente negativa — contração). Explico: \varepsilon_{\text{longitudinal}} é a deformação na direção da força aplicada; \varepsilon_{\text{transversal}} é a deformação nas direções perpendiculares. O valor típico para materiais sólidos isotrópicos é positivo (porque os sinais são opostos e o menos na fórmula dá \nu>0) e costuma ficar entre 0 e 0{,}5; 0{,}5 corresponde a material perfeitamente incompressível (em comportamento linear-elástico). Portanto a afirmação diz exatamente isso (embora não escreva o sinal negativo da definição, a ideia está correta ao dizer que é razão entre deformação transversal e longitudinal e que é tipicamente positivo e < 0{,}5). Conclusão: a afirmação 1 é correta.

Passo 3

Avaliação da afirmação 2 (Lei de Hooke para isotrópicos e parâmetros E e u_r).
Explicação/Teoria: A forma generalizada da Lei de Hooke para materiais elásticos isotrópicos pode ser expressa com dois constantes elásticas independentes — por exemplo, E (módulo de Young) e \nu (coeficiente de Poisson), ou G (módulo de cisalhamento) e K (módulo de compressibilidade), etc. Essas constantes são propriedades elásticas lineares do material e aparecem diretamente nas relações entre tensões e deformações.
O que é o módulo de resiliência u_r? É uma quantidade de energia por unidade de volume que o material armazena até o escoamento (em um carregamento elástico ideal), e em muitos casos para um material linear-elástico até o escoamento:
u_r = \dfrac{\sigma_{\text{esco}}^2}{2E}.
Portanto u_r depende de E e da tensão de escoamento \sigma_{\text{esco}}; não é uma constante independente que aparece na forma linear da Lei de Hooke. A Lei de Hooke (a relação tensões–deformações) exige duas constantes elásticas independentes, mas usualmente essas são escolhidas como E e \nu — não como E e u_r. Dizer que os dois parâmetros independentes são E e u_r está incorreto porque u_r não é uma constante elástica fundamental independente usada na forma linear de Hooke; é uma quantidade energética derivada. Conclusão: a afirmação 2 é incorreta.

Passo 4

Avaliação da afirmação 3 (residual após carregamento até \varepsilon_{\text{total}}=6{,}0\times10^{-3}).
Aqui preciso explicar como se decompõe a deformação quando há escoamento (modelo elástico–plástico simples, idealizado):
  • Primeiro, enquanto a tensão aplicada é menor que a tensão de escoamento \sigma_{\text{esco}}, o material se comporta elasticamente e a deformação é reversível: \varepsilon_{\text{el}}=\sigma/E.
  • Quando a tensão ultrapassa \sigma_{\text{esco}}, começa a haver plástico permanente. Se o carregamento sobe até uma deformação total \varepsilon_{\text{total}} muito além do limite elástico, a deformação total pode ser vista como:
\varepsilon_{\text{total}}=\varepsilon_{\text{el, no pico}}+\varepsilon_{\text{pl}},
onde \varepsilon_{\text{el, no pico}} é a parcela elástica correspondente à tensão no pico (aqui assumimos que o pico de tensão relevante é \sigma_{\text{esco}} se estivermos num escoamento plástico constante) e \varepsilon_{\text{pl}} é a parcela plástica acumulada.
Ao descarregar (retirar a força), o componente elástico é recuperado; resta a deformação plástica. Assim a deformação residual \varepsilon_{\text{res}} será igual à \varepsilon_{\text{pl}}.
Cálculo numérico com os dados:
  • Tensão de escoamento \sigma_{\text{esco}}=300\\ \mathrm{MPa}.
  • Módulo E=200\\ \mathrm{GPa}=200{,}000\\ \mathrm{MPa}.
  • Deformação elástica correspondente ao escoamento:
\varepsilon_{\text{el, esco}}=\dfrac{\sigma_{\text{esco}}}{E}=\dfrac{300}{200{,}000}=0{,}0015 = 1{,}5\times 10^{-3}.
  • Se a deformação total atingida foi \varepsilon_{\text{total}}=6{,}0\times 10^{-3}, então a deformação plástica acumulada é
\varepsilon_{\text{pl}}=\varepsilon_{\text{total}}-\varepsilon_{\text{el, esco}}=6{,}0\times10^{-3}-1{,}5\times10^{-3}=4{,}5\times10^{-3}.
  • Ao descarregar, recupera-se \varepsilon_{\text{el, esco}} e resta \varepsilon_{\text{res}}=\varepsilon_{\text{pl}}=4{,}5\times10^{-3}.
A afirmação dizia que a deformação residual seria 3{,}5\times10^{-3}. Nosso cálculo mostra 4{,}5\times10^{-3}. Logo a afirmação 3 é incorreta.

Passo 5

Avaliação da afirmação 4 (definição de módulo de tenacidade).
Precisamos distinguir termos:
  • Tenacidade (toughness) é, em engenharia dos materiais, a energia por unidade de volume que o material absorve até fratura. Em termos do diagrama tensão–deformação, é a área sob a curva desde o início do carregamento até o ponto de fratura (ruptura).
  • A afirmação diz: “módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão–deformação e representa a quantidade máxima de energia … até atingir a tensão máxima.” Há dois problemas com essa frase:
    1. “Área total sob o diagrama” normalmente significa até fratura — isso é coerente com tenacidade. Porém
    2. “até atingir a tensão máxima” indica só até o pico de tensão (tensão máxima) e não até a fratura; muitas vezes a ruptura ocorre depois do pico (após estricção) e a área após o pico também contribui para a energia absorvida até fratura. Assim a afirmação mistura e contradiz os limites (até fratura vs até tensão máxima), e ainda diz “quantidade máxima de energia … até atingir a tensão máxima”, que não coincide com a definição usual de tenacidade (que é até fratura). Portanto a frase está incorreta/ambígua e, na interpretação técnica correta, é falsa. Conclusão: a afirmação 4 é incorreta.

Passo 6

Avaliação da afirmação 5 (deformação \varepsilon_y com E=210\\ \mathrm{GPa}, \nu=0{,}3, \sigma_x=100\\ \mathrm{MPa}, \sigma_y=\sigma_z=0).
Primeiro, escrevo a expressão da Lei de Hooke generalizada para deformações em um material isotrópico linear-elástico (forma conveniente para componentes):
\varepsilon_y = \dfrac{1}{E}\bigl(\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)\bigr).
No caso uniaxial com \sigma_y=\sigma_z=0, isso reduz a:
\varepsilon_y = -\dfrac{\nu\,\sigma_x}{E}.
Significado das variáveis: \varepsilon_y é a deformação na direção y; \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z são as tensões nos eixos x,y,z; E é o módulo de Young; \nu é o coeficiente de Poisson.
Agora plugando números (atenção às unidades: E em \mathrm{MPa} para consistência):
E=210{,}000\\ \mathrm{MPa},\quad \nu=0{,}3,\quad \sigma_x=100\\ \mathrm{MPa}.
\varepsilon_y = -\dfrac{0{,}3\times 100}{210{,}000} = -\dfrac{30}{210{,}000} = -1{,}428571\ldots\times 10^{-4}.
Arredondando, \varepsilon_y \approx -1{,}43\times 10^{-4}\\ \mathrm{mm/mm}.
Observação importante: o sinal negativo indica contração na direção y (faz sentido físico: tracionando em x o corpo se contrai em y). A afirmação do enunciado deu o valor numérico 1{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{mm/mm} sem indicar sinal; como a deformação real tem sinal negativo, a afirmação está incompleta/indevida se pretende ser uma igualdade direta. Normalmente, ao afirmar a deformação, devemos indicar o sinal para dizer direção (extensão ou contração). Portanto, considerando a precisão física e matemática, a afirmação é incorreta. Se alguém tivesse pretendido apenas o módulo (valor absoluto), estaria correta em magnitude, mas como o enunciado afirma que "a deformação na direção y será aproximadamente 1{,}43\times10^{-4}\\ \mathrm{mm/mm}" (e não marca a contração), a forma correta é -1{,}43\times10^{-4}. Conclusão: a afirmação 5 é incorreta.

Passo 7

Resumindo as conclusões das cinco afirmações após as explicações e cálculos:
  • Afirmação 1: correta.
  • Afirmação 2: incorreta.
  • Afirmação 3: incorreta.
  • Afirmação 4: incorreta.
  • Afirmação 5: incorreta.

Resposta

C
E
E
E
E

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