Questão 3 [10%] - Para as questões a seguir, assinale com C, a caneta, as afirmações que considerar corretas, e com E aquelas que considerar incorretas.
A Lei de Poisson descreve o comportamento de materiais sólidos ao sofrerem deformações, estabelecendo que, quando um corpo é tracionado ao longo de um eixo, ele tende a se contrair nas direções perpendiculares. Essa relação é quantificada pelo coeficiente de Poisson
, definido como a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal, sendo seu valor tipicamente positivo e inferior a 0,5 para materiais sólidos isotrópicos.
Em sua forma mais geral, a Lei de Hooke relaciona os componentes do tensor de tensão aos componentes do tensor de deformação por meio de coeficientes que dependem das propriedades elásticas do material. Para materiais isotrópicos, essa relação pode ser expressa em função de apenas dois parâmetros independentes: o módulo de elasticidade
e o módulo de resiliência
.
Um elemento de aço foi tracionado até atingir uma deformação total de
mm. Sabendo que a tensão de escoamento desse aço é de 300 MPa e que o módulo de
( F ) elasticidade é de 200 GPa , é correto afirmar que a deformação residual do elemento, após a retirada da força de tração, será de
.
O módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão-deformação e representa a quantidade máxima de energia de deformação, por unidade de volume, que o material é capaz de absorver até atingir a tensão máxima.
Um material isotrópico, com módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
, está submetido a um estado uniaxial de tensão
e (V)
. Considerando a Lei de Hooke generalizada, a deformação na direção
será aproximadamente
.
( F ) elasticidade é de 200 GPa , é correto afirmar que a deformação residual do elemento, após a retirada da força de tração, será de
Passo 1
O enunciado pede que eu assinale com
(correta) ou
(incorreta) várias afirmações. Vou listar claramente cada afirmação e os dados numéricos fornecidos para não nos perdermos.
Afirmações a avaliar (resumidas):
- A Lei de Poisson: definição do coeficiente de Poisson
como razão entre deformação transversal e longitudinal; tipicamente positivo e para sólidos isotrópicos. - A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos pode ser expressa em função de apenas dois parâmetros independentes: o módulo de elasticidade
e o módulo de resiliência . - Um elemento de aço foi tracionado até deformação total
. Sabendo que a tensão de escoamento é e que o módulo de elasticidade é , a deformação residual após retirada da força será . - Dados usados aqui:
, , .
- Dados usados aqui:
- O módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão–deformação e representa a quantidade máxima de energia de deformação, por unidade de volume, que o material é capaz de absorver até atingir a tensão máxima.
- Material isotrópico com
e submetido a estado uniaxial com e . A deformação na direção será aproximadamente . - Dados usados:
, , , .
- Dados usados:
A partir daqui eu avalio cada afirmação com explicações didáticas e cálculos.
Passo 2
Avaliação da afirmação 1 (Lei de Poisson).
Primeiro, o que é o coeficiente de Poisson? É definido como a razão entre a deformação transversal e a deformação longitudinal quando um corpo sofre deformação axial. Em notação:
onde o sinal negativo é convenção (porque, numa tração positiva axial, a deformação transversal é normalmente negativa — contração). Explico:
é a deformação na direção da força aplicada;
é a deformação nas direções perpendiculares. O valor típico para materiais sólidos isotrópicos é positivo (porque os sinais são opostos e o menos na fórmula dá
) e costuma ficar entre
e
;
corresponde a material perfeitamente incompressível (em comportamento linear-elástico). Portanto a afirmação diz exatamente isso (embora não escreva o sinal negativo da definição, a ideia está correta ao dizer que é razão entre deformação transversal e longitudinal e que é tipicamente positivo e <
). Conclusão: a afirmação 1 é correta.
Passo 3
Avaliação da afirmação 2 (Lei de Hooke para isotrópicos e parâmetros
e
).
Explicação/Teoria: A forma generalizada da Lei de Hooke para materiais elásticos isotrópicos pode ser expressa com dois constantes elásticas independentes — por exemplo,
(módulo de Young) e
(coeficiente de Poisson), ou
(módulo de cisalhamento) e
(módulo de compressibilidade), etc. Essas constantes são propriedades elásticas lineares do material e aparecem diretamente nas relações entre tensões e deformações.
O que é o módulo de resiliência
? É uma quantidade de energia por unidade de volume que o material armazena até o escoamento (em um carregamento elástico ideal), e em muitos casos para um material linear-elástico até o escoamento:
Portanto
depende de
e da tensão de escoamento
; não é uma constante independente que aparece na forma linear da Lei de Hooke. A Lei de Hooke (a relação tensões–deformações) exige duas constantes elásticas independentes, mas usualmente essas são escolhidas como
e
— não como
e
. Dizer que os dois parâmetros independentes são
e
está incorreto porque
não é uma constante elástica fundamental independente usada na forma linear de Hooke; é uma quantidade energética derivada. Conclusão: a afirmação 2 é incorreta.
Passo 4
Avaliação da afirmação 3 (residual após carregamento até
).
Aqui preciso explicar como se decompõe a deformação quando há escoamento (modelo elástico–plástico simples, idealizado):
- Primeiro, enquanto a tensão aplicada é menor que a tensão de escoamento
, o material se comporta elasticamente e a deformação é reversível: . - Quando a tensão ultrapassa
, começa a haver plástico permanente. Se o carregamento sobe até uma deformação total muito além do limite elástico, a deformação total pode ser vista como:
onde
é a parcela elástica correspondente à tensão no pico (aqui assumimos que o pico de tensão relevante é
se estivermos num escoamento plástico constante) e
é a parcela plástica acumulada.
Ao descarregar (retirar a força), o componente elástico é recuperado; resta a deformação plástica. Assim a deformação residual
será igual à
.
Cálculo numérico com os dados:
- Tensão de escoamento
. - Módulo
. - Deformação elástica correspondente ao escoamento:
- Se a deformação total atingida foi
, então a deformação plástica acumulada é
- Ao descarregar, recupera-se
e resta .
A afirmação dizia que a deformação residual seria
. Nosso cálculo mostra
. Logo a afirmação 3 é incorreta.
Passo 5
Avaliação da afirmação 4 (definição de módulo de tenacidade).
Precisamos distinguir termos:
- Tenacidade (toughness) é, em engenharia dos materiais, a energia por unidade de volume que o material absorve até fratura. Em termos do diagrama tensão–deformação, é a área sob a curva desde o início do carregamento até o ponto de fratura (ruptura).
- A afirmação diz: “módulo de tenacidade corresponde à área total sob o diagrama tensão–deformação e representa a quantidade máxima de energia … até atingir a tensão máxima.” Há dois problemas com essa frase:
- “Área total sob o diagrama” normalmente significa até fratura — isso é coerente com tenacidade. Porém
- “até atingir a tensão máxima” indica só até o pico de tensão (tensão máxima) e não até a fratura; muitas vezes a ruptura ocorre depois do pico (após estricção) e a área após o pico também contribui para a energia absorvida até fratura. Assim a afirmação mistura e contradiz os limites (até fratura vs até tensão máxima), e ainda diz “quantidade máxima de energia … até atingir a tensão máxima”, que não coincide com a definição usual de tenacidade (que é até fratura). Portanto a frase está incorreta/ambígua e, na interpretação técnica correta, é falsa. Conclusão: a afirmação 4 é incorreta.
Passo 6
Avaliação da afirmação 5 (deformação
com
,
,
,
).
Primeiro, escrevo a expressão da Lei de Hooke generalizada para deformações em um material isotrópico linear-elástico (forma conveniente para componentes):
No caso uniaxial com
, isso reduz a:
Significado das variáveis:
é a deformação na direção
;
são as tensões nos eixos
;
é o módulo de Young;
é o coeficiente de Poisson.
Agora plugando números (atenção às unidades:
em
para consistência):
Arredondando,
Observação importante: o sinal negativo indica contração na direção
(faz sentido físico: tracionando em
o corpo se contrai em
). A afirmação do enunciado deu o valor numérico
sem indicar sinal; como a deformação real tem sinal negativo, a afirmação está incompleta/indevida se pretende ser uma igualdade direta. Normalmente, ao afirmar a deformação, devemos indicar o sinal para dizer direção (extensão ou contração). Portanto, considerando a precisão física e matemática, a afirmação é incorreta. Se alguém tivesse pretendido apenas o módulo (valor absoluto), estaria correta em magnitude, mas como o enunciado afirma que "a deformação na direção
será aproximadamente
" (e não marca a contração), a forma correta é
. Conclusão: a afirmação 5 é incorreta.
Passo 7
Resumindo as conclusões das cinco afirmações após as explicações e cálculos:
- Afirmação 1: correta.
- Afirmação 2: incorreta.
- Afirmação 3: incorreta.
- Afirmação 4: incorreta.
- Afirmação 5: incorreta.
Resposta
C
E
E
E
E
E
E
E
E