A posição de uma caixa deslizando rampa abaixo é dada por x=\left(0,25 t^{3}\right), y=\left(1,5 t^{2}\right), z=\left(6-0,75 t^{5 / 2}\right), onde t está em segundos. Determine a magnitude da velocidade e da aceleração da caixa quando t=2.

Passo 1

O enunciado dá a posição da caixa em função do tempo t (em segundos) pelas componentes:
x(t)=0,25\,t^{3},\qquad y(t)=1,5\,t^{2},\qquad z(t)=6-0,75\,t^{5/2}.
Pede-se:
  • a magnitude da velocidade da caixa quando t=2;
  • a magnitude da aceleração da caixa quando t=2.
Informações relevantes listadas:
  • As três componentes da posição estão acima e dependem de t.
  • O tempo de interesse é t=2 s.
  • Precisamos obter as derivadas (velocidade e aceleração), depois calcular as magnitudes (normas) dos vetores resultantes.

Passo 2

O que é velocidade e como obtê-la aqui (aula rápida e prática).
  • A velocidade é o vetor derivada da posição em relação ao tempo. Se \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  • Regra principal usada: regra do poder (power rule). Para f(t)=t^{n} temos f'(t)=n\,t^{n-1}. Se houver uma constante multiplicando, puxa-se para fora: \big(c\,t^{n}\big)'=c\,n\,t^{n-1}.
    Vamos aplicar isso componente a componente.

Passo 3

Derivando cada componente (mostrar contas passo a passo).
  • Para x(t)=0,25\,t^{3}:
x'(t)=0,25\cdot 3\,t^{2}=0,75\,t^{2}.
  • Para y(t)=1,5\,t^{2}:
y'(t)=1,5\cdot 2\,t=3\,t.
  • Para z(t)=6-0,75\,t^{5/2}:
    usar power rule com n=5/2:
z'(t)=-0,75\cdot \frac{5}{2}\,t^{5/2-1}=-0,75\cdot\frac{5}{2}\,t^{3/2}=-1,875\,t^{3/2}.
Logo, o vetor velocidade genérico é
\mathbf{v}(t)=\big(0,75\,t^{2},\;3\,t,\;-1,875\,t^{3/2}\big).

Passo 4

Avaliar \mathbf{v}(t) em t=2 (explicar cálculo de potências fracionárias).
  • t^{2} quando t=2 vale 2^{2}=4.
  • t^{3/2} quando t=2 é 2^{3/2}=(2^{1/2})^{3}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}. Isso é útil porque evita usar calculadora logo de cara.
    Calcule as componentes:
v_x(2)=0,75\cdot 4=3,
v_y(2)=3\cdot 2=6,
v_z(2)=-1,875\cdot 2^{3/2}=-1,875\cdot 2\sqrt{2}=-3,75\sqrt{2}.
Podemos também escrever -3,75\sqrt{2} como fração: -\dfrac{15}{4}\sqrt{2}.
Numericamente, -3,75\sqrt{2}\approx -5,303300859 (mantive a forma exata para contas simbólicas seguintes).

Passo 5

Como calcular a magnitude (norma) do vetor velocidade e executar a conta.
  • A magnitude (norma euclidiana) de um vetor \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
  • Aplicando para \mathbf{v}(2)=(3,\,6,\,-3,75\sqrt{2}):
\|\mathbf{v}(2)\|=\sqrt{3^{2}+6^{2}+(-3,75\sqrt{2})^{2}}.
Calcular os termos:
3^{2}=9,\qquad 6^{2}=36,
(-3,75\sqrt{2})^{2}=3{,}75^{2}\cdot 2=14{,}0625\cdot 2=28{,}125.
Somando:
9+36+28{,}125=73{,}125=\frac{585}{8}.
Portanto
\|\mathbf{v}(2)\|=\sqrt{73{,}125}\approx 8{,}551\\ (\text{duas casas decimais úteis: }8{,}55).ú
(Escolhi mostrar uma aproximação com três casas decimais: 8{,}551.)

Passo 6

Agora a aceleração: definição e derivação (didática).
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\mathbf{r}''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t)).
  • Derivando as componentes de \mathbf{v}(t)=(0,75\,t^{2},\,3t,\,-1,875\,t^{3/2}):
x''(t)= (0,75\cdot t^{2})' = 0,75\cdot 2\,t = 1,5\,t,
y''(t)=(3t)'=3,
z''(t)=\big(-1,875\,t^{3/2}\big)'=-1,875\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=-2,8125\,t^{1/2}.
Podemos escrever -2{,}8125 como fração -\dfrac{45}{16}. Assim
\mathbf{a}(t)=\big(1,5\,t,\;3,\;-2,8125\,t^{1/2}\big).

Passo 7

Avaliar \mathbf{a}(t) em t=2 e calcular a magnitude.
  • t=2 dá:
a_x(2)=1,5\cdot 2=3,
a_y(2)=3,
a_z(2)=-2,8125\cdot \sqrt{2}=-\frac{45}{16}\sqrt{2}\approx -3,977050983.
  • Magnitude:
\|\mathbf{a}(2)\|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+(-2{,}8125\sqrt{2})^{2}}.
Calcular termos:
3^{2}=9,\quad 3^{2}=9,
(-2{,}8125\sqrt{2})^{2}=2{,}8125^{2}\cdot 2=7{,}91015625\cdot 2=15{,}8203125.
Somando:
9+9+15{,}8203125=33{,}8203125=\frac{4329}{128}.
Logo
\|\mathbf{a}(2)\|=\sqrt{33{,}8203125}\approx 5{,}816\\ (\text{aprox. }5{,}816).
(Arredondei para três casas decimais: 5{,}816.)

Passo 8

Resumo curto e incentivo final.
  • Velocidade e aceleração foram obtidas derivando componente a componente usando a regra do poder.
  • As magnitudes são calculadas com a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
  • Você já faz isso na prova: derivar cada componente, avaliar em t desejado, aplicar \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}. Vai dar certo — respira e confia no passo a passo!

Resposta

Magnitude da velocidade: 8,551\\ \text{unidades}/\text{s}
Magnitude da aceleração: 5,816\\ \text{unidades}/\text{s}^2

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