A posição de uma caixa deslizando rampa abaixo é dada por
,
, onde
está em segundos. Determine a magnitude da velocidade e da aceleração da caixa quando
.
Passo 1
O enunciado dá a posição da caixa em função do tempo
(em segundos) pelas componentes:
Pede-se:
- a magnitude da velocidade da caixa quando
; - a magnitude da aceleração da caixa quando
.
Informações relevantes listadas:
- As três componentes da posição estão acima e dependem de
. - O tempo de interesse é
s. - Precisamos obter as derivadas (velocidade e aceleração), depois calcular as magnitudes (normas) dos vetores resultantes.
Passo 2
O que é velocidade e como obtê-la aqui (aula rápida e prática).
- A velocidade é o vetor derivada da posição em relação ao tempo. Se
, então
- Regra principal usada: regra do poder (power rule). Para
temos . Se houver uma constante multiplicando, puxa-se para fora: .
Vamos aplicar isso componente a componente.
Passo 3
Derivando cada componente (mostrar contas passo a passo).
- Para
:
- Para
:
- Para
:
usar power rule com:
Logo, o vetor velocidade genérico é
Passo 4
Avaliar
em
(explicar cálculo de potências fracionárias).
-
quando vale . -
quando é . Isso é útil porque evita usar calculadora logo de cara.
Calcule as componentes:
Podemos também escrever
como fração:
.
Numericamente, (mantive a forma exata para contas simbólicas seguintes).
Numericamente,
Passo 5
Como calcular a magnitude (norma) do vetor velocidade e executar a conta.
- A magnitude (norma euclidiana) de um vetor
é
- Aplicando para
:
Calcular os termos:
Somando:
Portanto
(Escolhi mostrar uma aproximação com três casas decimais:
.)
Passo 6
Agora a aceleração: definição e derivação (didática).
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Derivando as componentes de
:
Podemos escrever
como fração
. Assim
Passo 7
Avaliar
em
e calcular a magnitude.
-
dá:
- Magnitude:
Calcular termos:
Somando:
Logo
(Arredondei para três casas decimais:
.)
Passo 8
Resumo curto e incentivo final.
- Velocidade e aceleração foram obtidas derivando componente a componente usando a regra do poder.
- As magnitudes são calculadas com a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.
- Você já faz isso na prova: derivar cada componente, avaliar em
desejado, aplicar . Vai dar certo — respira e confia no passo a passo!
Resposta
Magnitude da velocidade:
Magnitude da aceleração:
Magnitude da aceleração: