Um foguete de massa \section*{
}é lançado no ar para um experimento de projétil com uma velocidade de magnitude
em um ângulo de
com a horizontal. No momento em que o foguete atinge seu ponto mais alto uma explosão pré-arranjada o separa em duas partes. A parte I é interrompida no ar pela explosão e cai verticalmente na Terra. A parte II com
4 continua a se mover. Se necessário, considere
. Qual é a distáncia (km) onde a parte II atinge o solo a partir do ponto de lançamento do foguete?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dado: velocidade inicial do foguete
formando um ângulo de com a horizontal. - Dado: massa inicial do foguete
. No ponto mais alto ocorre uma explosão que separa o foguete em duas partes. - Dado: a parte II tem massa
e “continua a se mover” após a explosão. - Dado: a parte I é imediatamente interrompida pela explosão (fica com velocidade horizontal nula) e cai verticalmente.
- Dado:
. - Pedido: distância (em km) da parte II até o solo medida a partir do ponto de lançamento do foguete.
Informações relevantes extraídas: a explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória (onde a componente vertical da velocidade é zero). Assumiremos que a explosão é praticamente instantânea, de modo que o impulso externo (gravidade) durante a explosão é desprezível em relação ao impulso interno — portanto, o momento linear do sistema é conservado durante a explosão. A resistência do ar é desprezada.
Passo 2
Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (isso é básico de cinemática vetorial).
Fórmulas usadas:
- Componente horizontal:
. - Componente vertical inicial:
.
Substituindo
e
,
:
Comentário amigável: pense em “horizontal é metade” porque
— fácil de lembrar; a vertical é
vezes a velocidade.
Passo 3
Calcular o tempo até o ponto mais alto (aqui uso uma fórmula simples de movimento vertical com aceleração constante).
No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando
e impondo
temos
Substituindo
e
:
Explicação curta: esse é o tempo que leva para a componente vertical diminuir de
até zero com desaceleração
.
Passo 4
Calcular a posição horizontal do ponto mais alto (ou seja, o alcance horizontal até o instante da explosão).
Movimento horizontal é de velocidade constante (sem resistência do ar), então
Substituindo
e
(ver Passo 3) podemos simplificar simbolicamente:
Agora numérico:
Passo 5
Aplicar conservação do momento linear (horizontal) na explosão para achar a velocidade horizontal da parte II logo após a explosão.
Justificativa física didática: a explosão é interna e muito rápida; durante um intervalo de tempo muito pequeno a força externa horizontal é desprezível, então o momento linear horizontal do sistema se conserva. Antes da explosão toda massa
movia-se horizontalmente com velocidade
. Depois, a parte I fica com velocidade horizontal nula (dizem que “é interrompida no ar”) e a parte II (massa
) fica com alguma velocidade horizontal
. Conservação do momento horizontal:
Como
, isso dá
Logo
Comentário: a parte II sai muito mais rápida horizontalmente porque ela “carregou” todo o momento horizontal do foguete original após a parte I ser parada.
Passo 6
Determinar o tempo que a parte II leva para cair do ponto mais alto até o solo (tempo de queda) e a distância horizontal adicional que ela percorre nesse tempo.
Altura máxima
(física básica: energia cinética vertical transformada em potencial ou fórmula de cinemática)
Tempo de queda a partir do repouso vertical inicial é
Substituindo
resulta (aproveitando cancelamentos):
Observação útil: o tempo de subida até o topo é igual ao tempo de queda do topo até o nível inicial quando a velocidade vertical aparece simetricamente — por isso
.
Agora a distância horizontal adicional percorrida pela parte II enquanto cai é
Substituindo
e
:
Número:
Passo 7
Somar a distância até o ponto da explosão com a distância adicional percorrida até o impacto; simplificar algebricamente e calcular o valor final.
Total:
Numérico:
Convertendo para quilômetros:
Pequena motivação final: apesar da velocidade inicial já grande, a explosão que para uma parte e concentra o momento horizontal na parte menor faz com que essa parte pequena voe ainda mais rápido horizontalmente, multiplicando bastante o alcance.