Um foguete de massa \section*{ мм}é lançado no ar para um experimento de projétil com uma velocidade de magnitude 943 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ângulo de 60^{\circ} com a horizontal. No momento em que o foguete atinge seu ponto mais alto uma explosão pré-arranjada o separa em duas partes. A parte I é interrompida no ar pela explosão e cai verticalmente na Terra. A parte II com
m_{2}=M /
4 continua a se mover. Se necessário, considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Qual é a distáncia (km) onde a parte II atinge o solo a partir do ponto de lançamento do foguete?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dado: velocidade inicial do foguete v_0=943\\ \mathrm{m/s} formando um ângulo de 60^\circ com a horizontal.
  • Dado: massa inicial do foguete M. No ponto mais alto ocorre uma explosão que separa o foguete em duas partes.
  • Dado: a parte II tem massa m_2 = M/4 e “continua a se mover” após a explosão.
  • Dado: a parte I é imediatamente interrompida pela explosão (fica com velocidade horizontal nula) e cai verticalmente.
  • Dado: g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Pedido: distância (em km) da parte II até o solo medida a partir do ponto de lançamento do foguete.
Informações relevantes extraídas: a explosão ocorre no ponto mais alto da trajetória (onde a componente vertical da velocidade é zero). Assumiremos que a explosão é praticamente instantânea, de modo que o impulso externo (gravidade) durante a explosão é desprezível em relação ao impulso interno — portanto, o momento linear do sistema é conservado durante a explosão. A resistência do ar é desprezada.

Passo 2

Primeiro vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical (isso é básico de cinemática vetorial).
Fórmulas usadas:
  • Componente horizontal: v_x = v_0\cos\theta.
  • Componente vertical inicial: v_{y0} = v_0\sin\theta.
Substituindo \theta=60^\circ e \cos60^\circ=1/2, \sin60^\circ=\sqrt{3}/2:
v_x = v_0\cos60^\circ = \frac{v_0}{2} = \frac{943}{2}=471{,}5\\ \mathrm{m/s}.
v_{y0} = v_0\sin60^\circ = \frac{v_0\sqrt{3}}{2} = 943\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 816{,}662\\ \mathrm{m/s}.
Comentário amigável: pense em “horizontal é metade” porque \cos60^\circ=0{,}5 — fácil de lembrar; a vertical é \sqrt{3}/2 vezes a velocidade.

Passo 3

Calcular o tempo até o ponto mais alto (aqui uso uma fórmula simples de movimento vertical com aceleração constante).
No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero. Usando v_y = v_{y0} - g t e impondo v_y=0 temos
t_{\text{top}} = \frac{v_{y0}}{g}.
Substituindo v_{y0} e g:
t_{\text{top}} = \frac{943\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{9{,}8} \approx 83{,}333\\ \mathrm{s}.
Explicação curta: esse é o tempo que leva para a componente vertical diminuir de v_{y0} até zero com desaceleração g.

Passo 4

Calcular a posição horizontal do ponto mais alto (ou seja, o alcance horizontal até o instante da explosão).
Movimento horizontal é de velocidade constante (sem resistência do ar), então
x_{\text{top}} = v_x \, t_{\text{top}}.
Substituindo v_x=\dfrac{v_0}{2} e t_{\text{top}}=\dfrac{v_0\sqrt{3}}{2g} (ver Passo 3) podemos simplificar simbolicamente:
x_{\text{top}} = \frac{v_0}{2}\cdot\frac{v_0\sqrt{3}}{2g}=\frac{v_0^2\sqrt{3}}{4g}.
Agora numérico:
x_{\text{top}}=\frac{943^2\sqrt{3}}{4\cdot 9{,}8}\approx 39\,299{,}6\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Aplicar conservação do momento linear (horizontal) na explosão para achar a velocidade horizontal da parte II logo após a explosão.
Justificativa física didática: a explosão é interna e muito rápida; durante um intervalo de tempo muito pequeno a força externa horizontal é desprezível, então o momento linear horizontal do sistema se conserva. Antes da explosão toda massa M movia-se horizontalmente com velocidade v_x. Depois, a parte I fica com velocidade horizontal nula (dizem que “é interrompida no ar”) e a parte II (massa m_2=M/4) fica com alguma velocidade horizontal v_{2x}. Conservação do momento horizontal:
M v_x = m_1\cdot 0 + m_2 v_{2x}.
Como m_2=M/4, isso dá
v_{2x} = \frac{M v_x}{m_2} = \frac{M v_x}{M/4}=4v_x.
Logo
v_{2x}=4\cdot 471{,}5 = 1\,886{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: a parte II sai muito mais rápida horizontalmente porque ela “carregou” todo o momento horizontal do foguete original após a parte I ser parada.

Passo 6

Determinar o tempo que a parte II leva para cair do ponto mais alto até o solo (tempo de queda) e a distância horizontal adicional que ela percorre nesse tempo.
Altura máxima H (física básica: energia cinética vertical transformada em potencial ou fórmula de cinemática)
H = \frac{v_{y0}^2}{2g} = \frac{\left(\dfrac{v_0\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2g} = \frac{v_0^2\cdot 3}{8g}.
Tempo de queda a partir do repouso vertical inicial é
t_{\text{fall}}=\sqrt{\frac{2H}{g}}.
Substituindo H resulta (aproveitando cancelamentos):
t_{\text{fall}}=\sqrt{\frac{2}{g}\cdot\frac{v_0^2\cdot 3}{8g}}=\frac{v_0\sqrt{3}}{2g}=t_{\text{top}}.
Observação útil: o tempo de subida até o topo é igual ao tempo de queda do topo até o nível inicial quando a velocidade vertical aparece simetricamente — por isso t_{\text{fall}}=t_{\text{top}}.
Agora a distância horizontal adicional percorrida pela parte II enquanto cai é
\Delta x = v_{2x}\, t_{\text{fall}}.
Substituindo v_{2x}=4v_x e t_{\text{fall}}=t_{\text{top}}=\dfrac{v_0\sqrt{3}}{2g}:
\Delta x = 4\cdot\frac{v_0}{2}\cdot\frac{v_0\sqrt{3}}{2g}=\frac{v_0^2\sqrt{3}}{g}.
Número:
\Delta x \approx \frac{943^2\sqrt{3}}{9{,}8}\approx 156\,998{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Somar a distância até o ponto da explosão com a distância adicional percorrida até o impacto; simplificar algebricamente e calcular o valor final.
Total:
R = x_{\text{top}}+\Delta x = \frac{v_0^2\sqrt{3}}{4g} + \frac{v_0^2\sqrt{3}}{g} = \frac{5\,v_0^2\sqrt{3}}{4g}.
Numérico:
R \approx 5\cdot 39\,299{,}6\\ \mathrm{m}\approx 196\,498{,}0\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
R \approx 196{,}50\\ \mathrm{km}.
Pequena motivação final: apesar da velocidade inicial já grande, a explosão que para uma parte e concentra o momento horizontal na parte menor faz com que essa parte pequena voe ainda mais rápido horizontalmente, multiplicando bastante o alcance.

Resposta

196{,}50\\ \mathrm{km}

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