Uma pessoa chuta uma bola de futebol de massa
, e faz uma colisalo elástica com uma segunda bola em repouso. A bola chutada pela pessoa retorna na direçåo oposta a uma velocidade de aproximadamente 0.25 vezes a velocidade inicial. Qual é a massa da segunda bola?
A resposta deve ser dada em gramas, sem especificar a unidade.
A resposta deve ser dada em gramas, sem especificar a unidade.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
- Massa da bola chutada:
(peguei este dado do enunciado). - A segunda bola está inicialmente em repouso (ou seja, sua velocidade inicial é
). - A velocidade inicial da bola chutada é desconhecida; chamo-a de
. - Após a colisão elástica, a bola chutada retorna no sentido oposto com velocidade de aproximadamente
vezes a velocidade inicial. Ou seja, a velocidade final da bola chutada é (o sinal negativo indica sentido oposto). - O enunciado pede: determinar a massa da segunda bola
.
Não há mais dados na questão.
Passo 2
Definição de variáveis e princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
- Coordenada: tomo o sentido original do chute como positivo.
- Variáveis:
-
= massa da bola chutada (já dada). -
= velocidade inicial de (desconhecida). -
= velocidade final de após a colisão (já sabemos que ). -
= massa da segunda bola (o que queremos). -
= velocidade final da segunda bola (desconhecida, positiva no nosso sistema de sinais).
-
- Em uma colisão perfeitamente elástica unidimensional entre duas massas, valem duas leis de conservação importantes:
- Conservação da quantidade de movimento (momento linear): a soma dos momentos antes e depois é igual. Em fórmula:
Explicação rápida: momento é produto massa × velocidade; se não há forças externas, esse total não muda durante a colisão.
2. Conservação da energia cinética: a energia cinética total antes e depois é a mesma. Em fórmula:Explicação rápida: numa colisão elástica não há perda de energia mecânica; a energia cinética se redistribui entre as massas.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a equação da conservação da quantidade de movimento e substituindo
.
A equação é
A equação é
Substituindo
obtemos
Agora isolamos o termo com
:
Ou seja,
Isso expressa a velocidade final de
em termos de
,
e
.
Passo 4
Agora usamos a conservação da energia cinética e substituímos
.
A equação da energia é
A equação da energia é
Multiplicando tudo por
(para eliminar os
):
Como
, substituindo:
Isolando o termo com
:
Passo 5
Substituir
obtido pelo momento na equação de energia para eliminar
e achar
.
Recordando que . Então
Recordando que
Pela equação do Passo 4 sabemos que esse lado é igual a
. Assim:
Agora podemos simplificar: ambos os lados têm o fator
(não nulos), então dividimos por esse fator:
Isolando
:
Para entender melhor esses números como frações:
e
. Portanto
Logo encontramos a relação simples e bonita
Passo 6
Calcular numericamente usando
(o enunciado pediu resposta em gramas, então mantemos a mesma unidade):
Interpretação rápida: a segunda bola tem cerca de uma vez e dois terços da massa da primeira bola. Isso faz sentido fisicamente: para que a primeira bola volte lentamente para trás (apenas
da velocidade inicial, em sentido oposto), a segunda bola precisa ser mais pesada que a primeira, mas não tão pesada como para quase não se mover.