Uma pessoa chuta uma bola de futebol de massa m_{\mathrm{A}}=110 \mathrm{~g}, e faz uma colisalo elástica com uma segunda bola em repouso. A bola chutada pela pessoa retorna na direçåo oposta a uma velocidade de aproximadamente 0.25 vezes a velocidade inicial. Qual é a massa da segunda bola?
A resposta deve ser dada em gramas, sem especificar a unidade.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Massa da bola chutada: m_A = 110 (peguei este dado do enunciado).
  • A segunda bola está inicialmente em repouso (ou seja, sua velocidade inicial é 0).
  • A velocidade inicial da bola chutada é desconhecida; chamo-a de v_0.
  • Após a colisão elástica, a bola chutada retorna no sentido oposto com velocidade de aproximadamente 0,25 vezes a velocidade inicial. Ou seja, a velocidade final da bola chutada é v_A' = -0,25\,v_0 (o sinal negativo indica sentido oposto).
  • O enunciado pede: determinar a massa da segunda bola m_B.
    Não há mais dados na questão.

Passo 2

Definição de variáveis e princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas).
  • Coordenada: tomo o sentido original do chute como positivo.
  • Variáveis:
    • m_A = massa da bola chutada (já dada).
    • v_0 = velocidade inicial de m_A (desconhecida).
    • v_A' = velocidade final de m_A após a colisão (já sabemos que v_A' = -0,25\,v_0).
    • m_B = massa da segunda bola (o que queremos).
    • v_B' = velocidade final da segunda bola (desconhecida, positiva no nosso sistema de sinais).
  • Em uma colisão perfeitamente elástica unidimensional entre duas massas, valem duas leis de conservação importantes:
    1. Conservação da quantidade de movimento (momento linear): a soma dos momentos antes e depois é igual. Em fórmula:
    m_A v_0 = m_A v_A' + m_B v_B'.Explicação rápida: momento é produto massa × velocidade; se não há forças externas, esse total não muda durante a colisão.
    2. Conservação da energia cinética: a energia cinética total antes e depois é a mesma. Em fórmula: \tfrac{1}{2} m_A v_0^2 = \tfrac{1}{2} m_A v_A'^2 + \tfrac{1}{2} m_B v_B'^2.Explicação rápida: numa colisão elástica não há perda de energia mecânica; a energia cinética se redistribui entre as massas.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a equação da conservação da quantidade de movimento e substituindo v_A' = -0,25\,v_0.
A equação é
m_A v_0 = m_A v_A' + m_B v_B'
Substituindo v_A' = -0,25\,v_0 obtemos
m_A v_0 = m_A (-0,25\,v_0) + m_B v_B'.
Agora isolamos o termo com m_B v_B':
m_B v_B' = m_A v_0 + 0,25\,m_A v_0 = 1,25\,m_A v_0.
Ou seja,
v_B' = \frac{1,25\,m_A v_0}{m_B}.
Isso expressa a velocidade final de m_B em termos de m_B, m_A e v_0.

Passo 4

Agora usamos a conservação da energia cinética e substituímos v_A' = -0,25\,v_0.
A equação da energia é
\tfrac{1}{2} m_A v_0^2 = \tfrac{1}{2} m_A v_A'^2 + \tfrac{1}{2} m_B v_B'^2.
Multiplicando tudo por 2 (para eliminar os \tfrac{1}{2}):
m_A v_0^2 = m_A v_A'^2 + m_B v_B'^2.
Como v_A'^2 = (-0,25\,v_0)^2 = 0,0625\,v_0^2, substituindo:
m_A v_0^2 = m_A (0,0625\,v_0^2) + m_B v_B'^2.
Isolando o termo com m_B v_B'^2:
m_B v_B'^2 = m_A v_0^2 - 0,0625\,m_A v_0^2 = 0,9375\,m_A v_0^2.

Passo 5

Substituir v_B' obtido pelo momento na equação de energia para eliminar v_B' e achar m_B.
Recordando que v_B' = \dfrac{1,25\,m_A v_0}{m_B}. Então
m_B v_B'^2 = m_B \left(\frac{1,25\,m_A v_0}{m_B}\right)^2 = m_B \frac{1,5625\,m_A^2 v_0^2}{m_B^2} = \frac{1,5625\,m_A^2 v_0^2}{m_B}.
Pela equação do Passo 4 sabemos que esse lado é igual a 0,9375\,m_A v_0^2. Assim:
0,9375\,m_A v_0^2 = \frac{1,5625\,m_A^2 v_0^2}{m_B}.
Agora podemos simplificar: ambos os lados têm o fator m_A v_0^2 (não nulos), então dividimos por esse fator:
0,9375 = \frac{1,5625\,m_A}{m_B}.
Isolando m_B:
m_B = \frac{1,5625}{0,9375}\,m_A.
Para entender melhor esses números como frações: 1,5625 = \tfrac{25}{16} e 0,9375 = \tfrac{15}{16}. Portanto
\frac{1,5625}{0,9375} = \frac{\tfrac{25}{16}}{\tfrac{15}{16}} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}.
Logo encontramos a relação simples e bonita
m_B = \frac{5}{3}\,m_A.

Passo 6

Calcular numericamente usando m_A = 110 (o enunciado pediu resposta em gramas, então mantemos a mesma unidade):
m_B = \frac{5}{3}\cdot 110 = \frac{550}{3} \approx 183,333\ldots
Interpretação rápida: a segunda bola tem cerca de uma vez e dois terços da massa da primeira bola. Isso faz sentido fisicamente: para que a primeira bola volte lentamente para trás (apenas 0,25 da velocidade inicial, em sentido oposto), a segunda bola precisa ser mais pesada que a primeira, mas não tão pesada como para quase não se mover.

Resposta

183,333\ldots

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