Um foguete movimenta-se essencialmente pelo seu auto-empuxo. Ao expelir gases em alta velocidade (resultantes de combustão) para trás, por ação e reação o foguete é impulsionado para frente. Suponha que um foguete está no espaço (vácuo) e sem ação de forças externas. Determine:
a) sua velocidade em função da taxa de queima de combustível e da velocidade de ejeção de gases ( ), supondo que ambas são constantes;
b) o valor da velocidade final, se da massa do foguete é combustível, o foguete queima o combustível a uma taxa constante de por segundo, a velocidade de escape dos gases igual a e a velocidade inicial do foguete é de .
Passo 1
Então, o exercício pede pra gente achar a velocidade de um foguete no espaço (sem forças externas) quando ele queima combustível a uma taxa constante e ejeta gases a uma velocidade relativa constante . Ainda tem uma parte numérica: o foguete tem 90 % da massa como combustível, queima 0,2 % da massa inicial por segundo, km/s e começa com km/s.
Conteúdo: conservação de momento (física newtoniana) e integração de equação diferencial. Vamos ver cada passo, sem pressa e explicando tudo.
Passo 2
Vamos modelar o foguete num instante . Suponha que a massa total seja e a velocidade seja . Num intervalo infinitesimal :
O foguete perde uma massa (negativa) e ganha um “empurrão” .
Os gases ejetados (massa ) saem com velocidade em relação ao referencial inercial.
Pela conservação de momento:
Expandindo e desprezando termos de ordem maior que (tipo ), dá:
Como , isso mostra que (foguete acelera pra frente).
Passo 3
Agora escrevemos a diferencial:
dv = ve,dmm
Integramos de integralv(0)^v(t)!dv = veintegralm0^,m(t)1m,dm ;Longrightarrow; v(t)-v(0)=veln!m(t)m0 até boxedv(t)=v(0)+veln!m0m0-mu,t , com e massa inicial ; em a massa é :
Como , fica
Passo 4
Na parte (b) a gente usa:
vf = 3 + 1cdotln!m00,10,m0 =3 + ln(10) approx 3 + 2,3026 approx 5,30 km/s da massa é combustível ⇒ massa final (sem combustível) .
Queima da massa inicial por segundo ⇒ .
km/s e km/s.
Quando todo combustível acaba, , então
Resposta
v(t)=v(0)+v_e ln[ m_0 / (m_0–μ t) ] e, usando os dados, a velocidade final é aproximadamente 5,30 km/s.