Um foguete movimenta-se essencialmente pelo seu auto-empuxo. Ao expelir gases em alta velocidade (resultantes de combustão) para trás, por ação e reação o foguete é impulsionado para frente. Suponha que um foguete está no espaço (vácuo) e sem ação de forças externas. Determine:
a) sua velocidade em função da taxa de queima de combustível (d m / d t=-mu) e da velocidade de ejeção de gases ( ve ), supondo que ambas são constantes;
b) o valor da velocidade final, se 90 % da massa do foguete é combustível, o foguete queima o combustível a uma taxa constante de 0,2 % por segundo, a velocidade de escape dos gases igual a 1 km / s e a velocidade inicial do foguete é de 3 km / s.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente achar a velocidade de um foguete no espaço (sem forças externas) quando ele queima combustível a uma taxa constante e ejeta gases a uma velocidade relativa constante . Ainda tem uma parte numérica: o foguete tem 90 % da massa como combustível, queima 0,2 % da massa inicial por segundo, km/s e começa com km/s.
Conteúdo: conservação de momento (física newtoniana) e integração de equação diferencial. Vamos ver cada passo, sem pressa e explicando tudo.

Passo 2

Vamos modelar o foguete num instante underbracem,vmomento inicial ;=; underbracel(m+dmr)l(v+dvr)foguete após ejeção ;+; underbracel(-dmr)l(v-ver)gases ejetados . Suponha que a massa total seja m,v = m,v + m,dv + v,dm - dm,v + dm,ve ;;Longrightarrow;; m,dv = ve,dm e a velocidade seja . Num intervalo infinitesimal :
  • O foguete perde uma massa (negativa) e ganha um “empurrão” .
  • Os gases ejetados (massa ) saem com velocidade em relação ao referencial inercial.
    Pela conservação de momento:
óçã
Expandindo e desprezando termos de ordem maior que (tipo ), dá:
Como , isso mostra que (foguete acelera pra frente).

Passo 3

Agora escrevemos a diferencial:
dv = ve,dmm
Integramos de integralv(0)^v(t)!dv = veintegralm0^,m(t)1m,dm ;Longrightarrow; v(t)-v(0)=veln!m(t)m0 até boxedv(t)=v(0)+veln!m0m0-mu,t , com e massa inicial ; em a massa é :
Como , fica

Passo 4

Na parte (b) a gente usa:
  • vf = 3 + 1cdotln!m00,10,m0 =3 + ln(10) approx 3 + 2,3026 approx 5,30 km/s da massa é combustível ⇒ massa final (sem combustível) .
  • Queima da massa inicial por segundo ⇒ .
  • km/s e km/s.
    Quando todo combustível acaba, , então

Resposta

v(t)=v(0)+v_e ln[ m_0 / (m_0–μ t) ] e, usando os dados, a velocidade final é aproximadamente 5,30 km/s.

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