Foi realizado um teste de tensão em um corpo de prova de aço com diâmetro original de 12,5 \mathrm{~mm} e comprimento de referência de 50 mm . Usando os dados relacionados na tabela, construa o diagrama tensão-deformação e determine o módulo de elasticidade aproximado do material, a tensão de proporcionalidade, a tensão máxima, o módulo de resiliência e o módulo de tenacidade aproximado… Use as escalas: 50 \mathrm{MPa}=2 \mathrm{~cm} \mathrm{e} 0,05 \mathrm{~mm} / \mathrm{mm}=2 \mathrm{~cm}.
Carga (kN) Alongamento (mm)
0 0
11,1 0,0175
31,9 0,0600
37,8 0,1020
40,9 0,1650
43,6 0,2490
53,4 1,0160
62,3 3,0480
64,5 6,3500
62,3 8,8900
58,8 11,9380

Passo 1

O enunciado pede para construir o diagrama tensão–deformação de um corpo de prova de aço (diâmetro inicial d_0=12{,}5\;\mathrm{mm}, comprimento de referência L_0=50\;\mathrm{mm}) a partir dos pares carga–alongamento da tabela. Em seguida devemos determinar:
  • o módulo de elasticidade E,
  • a tensão de proporcionalidade \sigma_{\rm prop},
  • a tensão máxima (UTS) \sigma_{\rm UTS},
  • o módulo de resiliência U_r,
  • o módulo de tenacidade U_t.
Para isso vamos calcular a tensão \sigma=P/A e a deformação \varepsilon=\Delta L/L_0, traçar o gráfico (com escala 50 MPa \to 2 cm e 0,05 mm/mm \to 2 cm) e extrair os valores solicitados.

Passo 2

Calcular a área da seção e montar a tabela \sigma \varepsilon.
A = \frac{\pi d_0^2}{4} = \frac{\pi\,(12{,}5\;\mathrm{mm})^2}{4} \approx 122{,}7\;\mathrm{mm}^2.
Cada carga P em kN gera
\sigma = \frac{P\,(10^3\;\mathrm N)}{A\;(10^{-6}\;\mathrm m^2)}\;\Big/\;10^6 \approx 8{,}15\,P\;(\mathrm{MPa}).
A deformação é \varepsilon=\Delta L/50. Segue a tabela resumida:
\begin{array}{c|c|c|c} P\;(\mathrm{kN}) & \Delta L\;(\mathrm{mm}) & \sigma\;(\mathrm{MPa}) & \varepsilon \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 11{,}1 & 0{,}0175 & 90{,}5 & 0{,}00035 \\\\ 31{,}9 & 0{,}0600 & 260{,}1 & 0{,}00120 \\\\ 37{,}8 & 0{,}1020 & 308{,}1 & 0{,}00204 \\\\ 40{,}9 & 0{,}1650 & 333{,}5 & 0{,}00330 \\\\ 43{,}6 & 0{,}2490 & 355{,}5 & 0{,}00498 \\\\ 53{,}4 & 1{,}0160 & 435{,}2 & 0{,}02032 \\\\ 62{,}3 & 3{,}0480 & 507{,}8 & 0{,}06096 \\\\ 64{,}5 & 6{,}3500 & 525{,}7 & 0{,}12700 \\\\ 62{,}3 & 8{,}8900 & 507{,}8 & 0{,}17780 \\\\ 58{,}8 &11{,}9380 & 479{,}8 & 0{,}23876 \end{array}

Passo 3

Determinar o módulo de elasticidade E pela parte inicial linear. Tomando os dois primeiros pontos lineares até \sigma\approx260,MPa:
E \approx \frac{260{,}1 - 90{,}5}{0{,}00120 - 0{,}00035} = \frac{169{,}6}{0{,}00085} \approx 2,00\times10^5\;\mathrm{MPa} =200\;\mathrm{GPa}.

Passo 4

A tensão de proporcionalidade \sigma_{\rm prop} é o valor em que o material deixa de obedecer à lei de Hooke. Observando a curva, isso ocorre em torno do terceiro ponto, ou seja,
\sigma_{\rm prop}\approx260\;\mathrm{MPa}.

Passo 5

A tensão máxima (UTS) é o pico da curva, neste caso em P=64{,}5,kN:
\sigma_{\rm UTS} \approx 525{,}7\;\mathrm{MPa} \approx 526\;\mathrm{MPa}.

Passo 6

O módulo de resiliência U_r é a energia de deformação elástica por volume até \sigma_{\rm prop}:
U_r = \frac{\sigma_{\rm prop}^2}{2E} = \frac{(260{,}1)^2}{2\cdot2,00\times10^5} \approx 0{,}17\;\mathrm{MPa} =0{,}17\times10^6\;\frac{\mathrm J}{\mathrm m^3} =0{,}17\;\mathrm{MJ/m^3}.

Passo 7

O módulo de tenacidade U_t é a área sob toda a curva até fratura. Aplicando Regra dos Trapézios sobre os 11 pontos:
U_t \approx \sum_{i=1}^{10}\frac{\sigma_i+\sigma_{i+1}}2\,(\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_i) \approx 117\;\mathrm{MPa} =117\times10^6\;\frac{\mathrm J}{\mathrm m^3} =117\;\mathrm{MJ/m^3}.

Resposta

200 GPa (módulo de elasticidade)
260 MPa (tensão de proporcionalidade)
526 MPa (tensão máxima)
0,17 MJ/ m^{3} (módulo de resiliência)
117 MJ/ m^{3} (módulo de tenacidade)

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