Resolva as seguintes integrais indefinidas, everifique sua resposta derivando a funçio encontrada.
x^{2} \operatorname{sen} x^{3} \cos x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3})\,dx.
O tema é substituição em integração, pois a expressão x^{3} aparece dentro de \sin e \cos.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3},
então
du = 3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo em x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3})\,dx obtemos
\int x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3})\,dx = \int \sin(u)\cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \sin(u)\cos(u)\,du.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \sin(u)\cos(u)\,du, note que
\frac{d}{du}\bigl[\sin^{2}(u)\bigr] =2\sin(u)\cos(u).
Logo
\int \sin(u)\cos(u)\,du =\frac{1}{2}\sin^{2}(u)+C.
Multiplicando por \tfrac{1}{3}
\frac{1}{3}\int \sin(u)\cos(u)\,du =\frac{1}{6}\sin^{2}(u)+C.

Passo 5

Voltando a x por u=x^{3}, concluímos
\int x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3})\,dx =\frac{1}{6}\sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr)+C.

Passo 6

Verificação por derivação:
\frac{d}{dx}\!\Bigl[\tfrac{1}{6}\sin^{2}(x^{3})\Bigr] =\tfrac{1}{6}\cdot2\sin(x^{3})\cos(x^{3})\cdot3x^{2} =x^{2}\sin(x^{3})\cos(x^{3}),
que coincide com o integrando inicial.

Resposta

\frac{1}{6}\sin^{2}\bigl(x^{3}\bigr)+C.

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